3.4.1 屈服准则的概念

3.4.2 屈雷斯加（ H.Tresca ）屈服准则

3.4.3 米塞斯（ Von ． Mises ）屈服准则

3.4.4 屈服准则的几何描述

3.4.5 屈服准则的试验验证与比较

一．屈服准则的概念

1 ．屈服准则

A.受力物体内质点处于单向应力状态时，只要单向应力大到材料的屈服点时，则该质点开始由弹性状态进入塑性状态，即处于屈服。

B.受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。它是描述受力物体中不同应力状态下的质点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须遵守的力学条件，这种力学条件一般可表示为

f（σij） ＝ C

又称为屈服函数，式中 C 是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过试验求得。

屈服准则是求解塑性成形问题必要的补充方程。

2 ．有关材料性质的一些基本概念

A.理想弹性材料 物体发生弹性变形时，应力与应变完全成线性关系，并可假定它从弹性变形过渡到塑性变形是突然的。

B.理想塑性材料（又称全塑性材料） 材料发生塑性变形时不产生硬化的材料，这种材料在进入塑性状态之后，应力不再增加，也即在中性载荷时即可连续产生塑性变形。

C.弹塑性材料 在研究材料塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形的材料这里可分两种情 况： 

Ⅰ.理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增加可连续产生塑性变形。

Ⅱ.弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增加，也即在加载条件下才能连续产生塑性变形。

D.刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前的弹性变形。这又可分两种情况：

Ⅰ.理想刚塑性材料 在研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。

Ⅱ.刚塑性硬化材料 在研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，但需要考虑变形过程中的加工硬化材料。

真实应力-应变曲线及某些简化形式

二．屈雷斯加（ H.Tresca ）屈服准则

　　当受力物体（质点）中的最大切应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以又称最大切应力不变条件。

屈雷斯加屈服准则的数学表达式：

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-2.gif

或

|σmax － σmin| ＝ σs ＝ 2K

K 为材料屈服时的最大切应力值，也称剪切屈服强度。

若规定主应力大小顺序为σ1≥σ2≥σ3 ，有

|σ1 － σ3|＝ 2K

如果不知道主应力大小顺序时，则屈雷斯加屈服准则表达式为

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-3.gif

左边为主应力之差，故又称主应力差不变条件。式中三个式子只要满足一个，该点即进入塑性状态。

 

三．米塞斯（ Von.Mises ）屈服准则

1.米塞斯屈服准则的数学表达式 

　　在一定的变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张力的第二不变量 J 2 ' 达到某一定值时，该点就开始进入塑性状态。即

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-4.gif

用主应力表示为

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-5.gif

式中 σs —— 材料的屈服点 K —— 材料的剪切屈服强度

与等效应力 http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-6.gif 比较，可得

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-7.gif

所以，米塞斯屈服准则也可以表述为：在一定的变形条件下，当受力物体内一点的等效应力 达到某一定值时，该点就开始进入塑性状态。

2.米塞斯屈服准则的物理意义

　　在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性位能（又称弹性形变能）达到某一常数时，材料就屈服。

 

四．屈服准则的几何描述

1.空间主应力中的屈服平面

　　屈服表面 —— 以应力主轴为坐标轴可以构成一个主应力空间，屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面。

http://s9/middle/773358df4a429ae377db8&690

　　米塞斯屈服表面 ——

 

由于矢量 OP = OM + MF

所以矢量的模 http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-8.gif

其中 http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-9.gif

而│OM│就是σ1、σ2、σ3在 ON 线上的投影之和，即

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-10.gif

由此可得

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-11.gif

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-12.gif

根据米塞斯屈服准则，当http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-13.gif时材料就屈服，故P点屈服时有 

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-14.gif

因此，若以 M 为圆心，http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-15.gif为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准则。这个圆柱面就是用主应力表示的米塞斯屈服准则公式在主应力空间中的几何表达。

　　屈雷斯加屈服表面 —— 与米塞斯屈服表面类似，屈雷斯加准则的表达式，在主应力空间中的几何图形是一个内接于米塞斯圆柱面的正六棱柱面。

http://s9/middle/773358df4a429afa815d8&690

　　屈服表面的几何意义 —— 若主应力空间中一点应力状态矢量的端点（ P 点）位于屈服表面，则该点处于塑性状态；若 P 点在屈服表面内部，则P点处于弹性状态。对于理想塑性材料，P 点不能在屈服表面之外

2.两向应力状态下的屈服轨迹 

　　屈服轨迹 —— 两向应力状态下屈服准则的表达式在主应力坐标平面上的几何图形是一个封闭的曲线。

 

http://s12/middle/773358df4a429e079d1eb&690

　　两个屈服轨迹有六个交点，说明在这六个交点上，两个屈服准则是一致的。其中与坐标轴相交的四个点 A（σs，0）、E（0 ，σs）、G（-σs，0）、K（0，-σs）表示单向应力状态；与椭圆长轴相交的二个点 C（σs，σs）、I（-σs，-σs）为轴对称应力状态。在两个屈服轨迹不相交的部份，米塞斯椭圆上的点均在屈雷斯加六边形之外，表明按米塞斯屈服准则需要较大的应力才能使材料（质点）屈服。两个屈服准则差别最大的有六个点（B、D、F、H、J、L），它们的坐标分别由http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-20.gif既表示平面应力状态，又表示平面应变状态，因这四个点σ3 ＝ 0（平面应变），http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-24.gif属纯切应力状态。这六个点上，两个屈服准则相差都是 15.5% 。

 

 

五．屈服准则的试验验证与比较

　　分析前提为主应力方向是固定不变的，主应力次序也给定，若σ1＞σ2＞σ3，则屈雷斯加屈服准则可写为

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-25.gif

为了将米塞斯屈服准则写成类似式的形式，罗德引入了参数μσ（后称此参数为罗德应力参数）

σ1≥σ2≥σ3

得米塞斯屈服准则可写为

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-26.gif

罗德实验资料 http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/SPACER.GIF泰勒及奎乃实验资料

对两个屈服准则作综合比较：

1.多数金属符合米塞斯屈服准则。

2.当主应力大小顺序预知时，屈雷斯加屈服函数为线性的，使用起来很方便，在工程计算常常采用。若用修正系数来考虑中间应力的影响，则米塞斯屈服准则可以写成

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-27.gif

或表达为

http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-28.gif

式中 http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-29.gif —— 中间主应力影响系数，或称应力修正系数。在受单向受拉或单向受压及轴对称应力状态（σ2 ＝ σ3 ）时，β＝ 1，两个屈服准则重合；在纯切状态和平面应变状态时，http://oa.gdut.edu.cn/jinshu/%EF%BF%BD%CC%B0%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/section/pic/3.4/3.4-30.gif，两者差别最大。故系数β ＝ 1 ～ 1.155 范围内。