鸽巢问题

教学内容：

鸽巢问题（教材第68～69页）。

设计理念：

在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。

教材分析：

鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。

学情分析：

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。

教学目标：

1．知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。

2．过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。

3．情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。

教学重点：

理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：

理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

教学准备：

多媒体课件、扑克牌、笔、笔筒、合作作业纸等。

教学过程：

一、 游戏激趣 ，初步体验。

用扑克牌玩游戏（猜花色）。一副扑克牌共54张，去掉两张王牌，就剩52张。如果从这52张扑克牌中任意抽取5张，我敢肯定地说：“这5张扑克牌至少有2张是同一种花色的，你们信吗？请5名同学各抽一张来验证。

师：如果再请五位同学来抽，我还敢这样肯定地说：抽取的这5张牌中至少有两张是同一花色的，你们相信吗？

师：老师为什么猜的那么准，想知道吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理——鸽巢问题（板书课题）。

二、动手实验，探究新知

今天这节课我们就借助笔和笔筒，做几个有趣的数学实验来研究这个原理。

(一)研究笔数比笔筒数多1的情况。

 1.出示例题：把3支笔放在2个笔筒里，该怎样放？有几种不同的放法？

学生上台实物演示。一共有2种摆法，第一种摆法是一个笔筒里放3支，另一个笔筒里没有，记作（3 ，0）；第二种摆法是一个笔筒里放2支，另一个笔筒里放1支，记作（2， 1）。

2.提出问题：观察这两种摆法，老师说，“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔”，这句话说得对吗？

学生尝试回答，师引导：这句话里“总有一个笔筒”是什么意思？这句话里“至少有2支”是什么意思？

得到结论：从刚才的实验中，我们可以看到3支笔放进2个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支笔。

3.如果现在有4支笔放进3个笔筒，又可以怎样放？大家再来摆摆看，看看又有什么发现？

要求：小组合作：

（1）画一画：借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来；

（2）找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出；

（3）我们发现：总有一个笔筒至少放进了（  ）支笔。

4．学生汇报，展台展示。

交流后明确：一共有四种摆法。第一种摆法是一个笔筒里放4支，另外两个笔筒里没有，记作（4 ，0 ，0）；第二种摆法是一个笔筒里放3支，一个笔筒里放一支，另外一个笔筒里没有，记作（3， 1， 0）；第三种摆法是一个笔筒里放2支，另一个笔筒里也放2支，最后一个笔筒里没有，记作（2， 2 ，0）；第四种摆法是一个笔筒里放2支，另外两个笔筒里各放一支，记作（2 ，1 ，1，）。

5．小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论，这种方法叫“列举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？

学生操作演示，语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。（指名说，互相说）

引导发现：

（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）

（2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都行）

（3）怎样用算式表示这种方法？算式中的两个“1”是什么意思？

 6 .引伸拓展：

（1）7支笔放进6个笔筒，总有一个笔筒至少放进（  ）支笔。

（2）26支笔放进25个笔筒，总有一个笔筒至少放进（  ）支笔。

（3）100支笔放进99个笔筒，总有一个笔筒至少放进（  ）支笔。

学生列出算式，依据算式说理。

7．这么大的数据，一下子就找到了答案，发现了什么规律？

 (二)研究笔数比笔筒数多2、多3的情况。

1.出示：如果把5支笔放在3个笔筒里，会有什么结果？

摆一摆，先平均分掉3支，那这剩下的2支笔该怎么分，才能保证至少有几支笔？怎样用算式表示呢？

2.把7支笔放在3个笔筒里，会有什么结果呢？为什么？

 (三)研究笔数比笔筒数的2倍多、3倍多等情况。

如果把9支笔放在4笔筒里，把15支笔放在4个笔筒里，分别又会有什么结果？同桌讨论，再请同学说结果和理由。

（四）总结规律。

我们刚才研究了那么多种情况，大家仔细观察算式，想想：“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有几支笔”，应该怎样求？。

(五)介绍鸽巢原理。

同学们，我们今天发现的原理，其实早在200多年前就被德国数学家狄利克雷发现了，请看大屏幕：“鸽巢原理”又称“抽屉原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

三、应用“鸽巢原理”，感受数学的魅力。

1.8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

2.把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进几本书？为什么？

3.我们学校共有705名学生，其中六年（2）班有35名学生。请问下面两人说的对吗？为什么？

（1）我们学校至少有2人的生日是同一天。

（2）六（2）班中至少有3人是同一个月出生的。

4．张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

 5．课前的游戏，为什么老师可以肯定地说：从52张牌中任意抽取5张牌，至少会有2张牌是同一花色的？你能用所学的抽屉原理来解释吗？

四、课堂总结

1.通过这节课的学习，你有哪些收获？

2.应用鸽巢原理解题思路是什么？

《鸽巢问题》评课稿

——郑小玲   

《鸽巢问题》是人教版六年级下册数学广角的内容，与前后知识点没有联系，比较孤立。数学广角主要是数学思想方法的渗透，提升思维水平。虽然小学阶段的鸽巢原理的内容比较简单，但是学生建立鸽巢原理的一般化模型比较困难。钱老师教的《鸽巢问题》一课，给我整体的感觉是教师教得扎实，学生学得有效。她能够根据新课改的要求努力做到，以学生为主体，以教师为主导，放手学生又有效调控课堂。在教学过程中充分发挥了学生的主体性，钱老师的这节课有以下亮点：     

 1．激发了学生的学习兴趣，引发了学生的求知欲。

 课前钱老师通过玩扑克牌游戏导入，非常贴切新课，吸引了同学们的眼球，激发了学生的学习兴趣。而当钱老师肯定地说“这5张扑克牌中至少有2张是同花色的，你们信吗？”，钱老师为什么能做出如此准确的判断？道理是什么？这其中是不是蕴含着一个有趣的数学原理，引发了学生学习数学的求知欲，为学生学习鸽巢原理作了很好的铺垫。    

2．用具体的操作，将抽象变为直观。 

本节课钱老师组织的教学结构紧凑，实施过程层层推进，扎实有效，教师通过让学生小组合作动手操作4支铅笔放进3个笔筒里，探究把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放总有一个笔筒里至少有2支铅笔。让学生借助“画图”或“数的分解”的方法，把各种情况都表示出来，运用直观的方式，发现并描述：理解简单的“鸽巢原理”，举例后学生感知理解“铅笔比笔筒多1时，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。再让学生探究解决问题的简便方法，即“平均分”的方法，在这节课中，由于钱老师提拱的数据较小，为学生自主探索和理解“鸽巢原理”提供了很大的空间，使学生经历了一个初步的数学证明过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑思维能力。           

3.注意渗透数学和生活的联系，并在游戏中深化知识。   

学了“鸽巢原理”有什么用？能解决生活中的什么问题？教学中教师注重了联系学生的生活实际。课前老师设计了一组简单、真实的生活情境：“在一副去掉了两张王牌的扑克牌中，任意抽取五张，老师猜：至少有两张是同一种花色的牌。”课的结尾又通过所学的“鸽巢原理”来解释为什么老师敢肯定地说“这5张扑克牌中至少有2张是同花色的？”，让学生进一步体会鸽巢原理的应用。学完鸽巢原理后，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的渗透“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。 

4．多媒体课件的应用课堂教学更直观形象。 

本节课多媒体课件的使用，使知识形成的过程更形象直观的展现给学生，把抽象的枯燥的数学原理用生动形象的动画呈现在学生眼前。不但激发了学生的学习兴趣，还充分发挥了学生用视觉获取知识的优势。总之，整节课的教学活动，充分发挥了学生的主体作用，教师提供了独立思考、主动探索的空间，还为学生创设了良好的交流氛围，学生在思考、操作、讨论交流的过程中获得数学概念、数学方法，促进了学生全面发展。

 

2017年3月28日