*动脑思考 探索新知

概念

函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．

类型

设函数 在区间 内有意义．

（1）如图（1）所示，在区间 内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的 ，当 时，都有 成立．这时把函数 叫做区间 内的增函数，区间 叫做函数 的增区间．

（2）如图（2）所示，在区间 内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的 ，当 时，都有 成立．这时函数 叫做区间 内的减函数，区间 叫做函数 的减区间．

       图（1）                          图（2）

如果函数 在区间 内是增函数（或减函数），那么，就称函数 在区间 内具有单调性，区间 叫做函数 的单调区间．

几何特征

函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着x轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像下降则函数为减函数．

判定方法

判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定．

*巩固知识 典型例题

例1 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如下图所示．请指出这个函数的单调性．

分析 对于用图像法表示的函数，可以通过对函数图像的观察来判断函数的单调性，从而得到单调区间．

解 由图像可以看出，函数的增区间为 ；减区间为 ．

例2 判断函数 的单调性．

分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域．

解法1  函数为一次函数，定义域为 ，其图像为一条直线．确定图像上的两个点即可作出函数图像．列表如下：

       在直角坐标系中，描出点（0，－2），（1，2），作出经过这两个点的直线．观察图像知函数 在 内为增函数．

*理论升华 整体建构

由一次函数 （ ）的图像（如下图）可知：

（1）当 时，图像从左至右上升，函数是单调递增函数；

（2）当 时，图像从左至右下降，函数是单调递减函数．

由反比例函数 的图像（如下图）可知：

（1）当 时，在各象限中 值分别随 值的增大而减小，函数是单调递减函数；

（2）当 时，在各象限中 值分别随 值的增大而增大，函数是单调递增函数．

*运用知识 强化练习  

教材练习3.2.1

1.已知函数图像如下图所示．

（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性．

（2）写出函数的定义域和值域．