1. 计算方法

1)直接法;

2)格林公式 .

3)补线用格林公式

4)利用线积分与路径无关

 （1）判定: .

 （2）计算:

a)    改换路径;

b)    利用原函数 ,其中

,求原函数方法:①偏海文钻石卡视频积分;②凑微分.

2.两类线积分的联系: .

 

【例1】计算 .其中 为 从 到 的曲线段.

【解析】 由于 ，则本题中的线积分与路径无关.

解法1 改换路径， 点为 点。

原式

   

    .

也可将路径改换为另一折线 、 ，其中 点为 点，则

原式

.

解法2利用原函数，由于

则   .

故   . 

【例2】设 为椭圆 沿逆时针方向,则 .

【解析】由格林公式得

其中 是由 围成的椭圆域， 为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为 ，则其面积 .

故     .

【例3】计算 ,其中 为正常数,  为从点 沿曲线 到点 的弧.

【解析】补线段 ，则

   

  ，

其中 为 与 围成的半圆域，则

     

【例4】计算 ,其中  (1) 为 的正向;  (2) 为 的正向.

【解析】（1） ，由格林公式得

  （其中 为曲线 所围圆域）

       .

（2） ，此时不能直接用格林公式，因为在 点条件不满足. 因此，作以 为中心的圆 且取顺时针方向，在 和 大学考研围成的环形域上用格林公式得

，

即       .

则         

        

           （这里用了格林公式）

          .

注：由本题可看出，对线积分 ，除原点  外， 有连续一阶偏导数，且 . 此时有以下结论：

1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零.

2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等.

事实上，线积分

都属于

这个类型.

【例5】计算 ,其中 弧为连结 与点 的线段 的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与大学考研线段 所围图形面积为2,

【解析】

解法1  补线段 ，则

直线 的方程为： ，则

故 

解法2 ,

其中 

  故   

【例6】计算 ,其中 是曲线  从 轴正向往z轴负向看去为顺时针方向。

【解析】

解法1 直接法 曲线 的参数方程为： ，则

  

   

解法2 斯托克斯公式;

 

解法3 化为平面线积分.将 代入原积分得

  （ 为 ）