在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.

1.正交试验设计的基本方法

正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.

正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L₄(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：

表9-17

列号 试验号	1                  2                    3
1 2 3 4	1                  1                    1 1                  2                    2 2                  1                    2 2                  2                    1

 (1) L₄（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.

 

列数

            ↓

L₄             （2³）

↑          ↑

行数       水平数

（2） L₄（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.

          最多能安排的因素数

           ↓

L₄          (2³)

↑          ↑

试验次数      水平数

(3) L₄（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为2³=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.

L₄             (2³)

↑              ↑

实际试验数    理论上的试验数

正交表的特点：

（1） 表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L₄(2³)中，数字1，2在每列中均出现2次.

（2） 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L₄（2³）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.

凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).

常用的正交表有L₉（3⁴），L₈（2⁷），L₁₆（4⁵）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L_p（n^m）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.

例9.7  提高某化工产品转化率的试验.

某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.

表9-18

水平 因素	1                  2                    3
A:反应温度（℃）	60                 70                   80
B:反应时间（小时）	2.5                 3.0                  3.5
C:原料配比	1.1∶1              1.15∶1              1.2∶1
D:真空度（毫米汞柱）	500                550                  600

分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.

解  本题是4因素3水平，选用正交表L₉（3⁴）.

表9-19

列号 水平 试验号

A                B                C                 D 1                2                3                  4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1                1                 1                  1 1                2                 2                  2 1                3                 3                  3 2                1                 2                  3 2                2                 3                  1 2                3                 1                  2 3                1                 3                   2 3                2                 1                   3 3                3                 2                   1

把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.

表9-20

列号 水平 试验号

A                B                C                 D 1                2                3                  4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1(60)           1(2.5)            1(1.1:1)             1(500) 1              2(3.0)            2(1.15:1)            2(550) 1              3(3.5)            3(1.2:1)             3(600) 2(70)             1                 2                  3 2                2                 3                  1 2                3                 1                  2 3(80)             1                 3                   2 3                2                 1                   3 3                3                 2                   1

从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：

反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A₁B₁C₁D₁.依此类推，第9号试验条件是A₃B₃C₂D₁.

由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.

表9-21

列号 水平 试验号	A            B              C               D	试验结果（%）
1 2 3 4 5 6 7 8 9	1(60)       1(2.5)         1(1.1:1)           1(500) 1          2(3.0)         2(1.15:1)          2(550) 1          3(3.5)         3(1.2:1)           3(600) 2(70)       1             2                3 2          2             3                1 2          3             1                2 3(80)       1             3                2 3          2             1                 3 3          3             2                 1	38 37 76 51 50 82 44 55 86

2.试验结果的直观分析

正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.

例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A₃B₃C₂D₁.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析.

（1） 极差计算

在代表因素A的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T₁₁，求得T₁₁=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T₂₁，求得T₂₁=183.

一般地，定义T_ij为表9-21的第j列中，与水平i对应的各次试验结果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).记T为9次试验结果的总和，R_j为第j列的3个T_ij中最大值与最小值之差，称为极差.

显然T= ，j=1,2,3,4.

此处T₁₁大致反映了A₁对试验结果的影响，

T₂₁大致反映了A₂对试验结果的影响，

T₃₁大致反映了A₃对试验结果的影响，

T₁₂，T₂₂和T₃₂分别反映了B₁，B₂，B₃对试验结果的影响，

T₁₃，T₂₃和T₃₃分别反映了C₁，C₂，C₃对试验结果的影响，

T₁₄，T₂₄和T₃₄分别反映了D₁，D₂，D₃对试验结果的影响.

R_j反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小，R_j越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表9-22.

表9-22

T1j T2j T3j	151      133      175      174 183      142      174      163 185      244      170      182	T=519
Rj	34       111      5        19

 (2) 极差分析(Analysis of range)

由极差大小顺序排出因素的主次顺序：

主→次

B；A、D；C

这里，R_j值相近的两因素间用“、”号隔开，而R_j值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.

选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T₃₁=185；即取水平A₃，同理可选B₃C₁D₃.故例9.7中较好的因素水平搭配是A₃B₃C₁D₃.

例9.8  某试验被考察的因素有5个：A，B，C，D，E.每个因素有两个水平.选用正交表L₈(2⁷)，现分别把A，B，C，D，E安排在表L₈(2⁷)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.

表9-23

列号 水平 试验号	A      B            C      D             E 1      2      3      4      5      6      7	试验结果
1 2 3 4 5 6 7 8	1      1      1      1      1      1      1 1      1      1      2      2      2      2 1      2      2      1      1      2      2 1      2      2      2      2      1      1 2      1      2      1      2      1      2 2      1      2      2      1      2      1 2      2      1      1      2      2      1 2      2      1      2      1      1      2	14 13 17 17 8 10 11 15
T1j T2j	61    45      53     50     56     54     52 44    60      52     55     49     51     53	T=105
Rj	17    15      1      5      7      3      1

试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表9-23的极差R_j的大小顺序排出因素的主次顺序为

主 → 次

A、B；D；C、E

最优工艺条件为A₂B₁C₁D₂E₁.

表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差R_j应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.

3.方差分析

正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.

设有一试验，使用正交表L_p(n^m),试验的p个结果为y₁,y₂,…,y_p,记

T= ,     = ，

S_T=

为试验的p个结果的总变差；

S_j=

为第j列上安排因素的变差平方和，其中r=p/n.可证明

S_T=

即总变差为各列变差平方和之和，且S_T的自由度为p-1，S_j的自由度为n-1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的S_j之和就是误差的变差平方和S_e，这时S_e的自由度f_e也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取S_j中的最小值作为误差的变差平方和S_e.

从以上分析知，在使用正交表L_p(n^m)的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：

F= .

当因素作用不显著时，

F~F(n-1,f_e),

其中第j列安排的是被检因素.

在实际应用时，先求出各列的S_j/(n-1)及S_e/f_e,若某个S_j/(n-1)比S_e/f_e还小时，则这第j列就可当作误差列并入S_e中去，这样使误差S_e的自由度增大，在作F检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的S_j全并入S_e后得新的误差变差平方和，记为S_e^Δ,其相应的自由度为f_e^Δ,这时选用统计量

F=  ~F(n-1,f_e^Δ).

例9.9  对例9.8的表9-23作方差分析.

解  由表9-23的最后一行的极差值R_j，利用公式S_j= ,得表9-24.

表9-24

	A        B                 C       D                  E 1        2        3        4        5         6        7
Rj	17       15       1        5        7         3         1
Sj	36.125    28.125   0.125    3.125     6.125     1.125   0.125	ST=74.875

表9-24中第3，6列为空列，因此S_e=S₃+S₆=1.250,其中f_e=1+1=2,所以S_e/f_e=0.625,而第7列的S₇=0.125，S₇/f₇=0.1251=0.125比S_e/f_e小，故将它并入误差.

S_e^Δ=S_e+S₇=1.375,f_e^Δ=3.整理成方差分析表9-25.

表9-25

方差来源	Sj	fj		F=	显著性
A	36.125	1	36.125	78.818
B	28.125	1	28.125	61.364
C	3.125	1	3.125	6.818
D	6.125	1	6.125	13.364
EΔ	0.125	1	0.125
e	1.1250	2	0.625
eΔ	1.375	3	0.458

 

由于F_0.05(1,3)=10.13, F_0.01(1,3)=34.12,故因素A，B作用高度显著，因素C作用不显著，因素D作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F检验法要求选取S_e，且希望f_e要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A和B的交互作用A×B.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.