我们一起来回顾一下数与代数部分内容：

   1.数的认识（一）整数；整数是我们学习数的基本知识。

（1）正数和负数；意义：像1,2,3,4,5,6,7,8……这样的数叫做正数；像﹣1, ﹣2, ﹣3, ﹣4, ﹣5……这样的数叫做负数。正数面前可以加“﹢”，也可以不加。0既不是正数，也不是负数。读法：正数把“﹢”读作“正”，正号后面是几就读作正几；负数把“﹣”读作“负”，负号后面是几就读作负几。写法：正、负数把表示具有相反意义的量，为了区分正、负数，正数就在数的前面加“﹢”，负数则在数的前面写“﹣”。正数面前的“﹢”也可以省略不写。大小比较：①正数都大于负数。②负数相比较时，负号后面的数越大，这个负数反而越小。

（2）整数的分类：整数分为正整数、0、负整数，正整数和0都是自然数。

（3）计数单位和数位；计数单位：数、小数、分数都是按十进制写出的数，其中个、十、百、千、万……以及十分之一、百分之一、千分之一……都是计数单位。数位：各个计数单位实战的位置，叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。如：4831中“3”往右起第二位，即“3”所在的数位是十位。位数：指一个数是由几个数字组成，是含有数位的个数。数的分级：按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿。

（4）整数的意义和读写法；整数的意义：像﹣3, ﹣2, ﹣1,0,1,2,3……这样的数称为整数。在整数中大于零的数称为正整数，小于零的数称为负整数。正整数、零与负整数统称为整数。整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

（5）自然数；自然数的定义：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0,1,2,3,4,5……叫做自然数。自然数的基本单位：任何非“0“的自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的基本单位。“0”的含义：一个物体也没有，用“0”表示，但并不是说“0”只表示没有物体，它还有多方面的含义。比如在表示温度时，它是正、负温度的分界线；在刻度尺上，它是起点……

（6）比较正整数大小的方法：①位数不同的正整数比较，如果位数不同，那么位数多的数越大。位数相同的正整数比较，如果位数相同，最高位上数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一位上的数。依次类推，直到比较出数的大小。

（7）整数的改写；整数的改写分为两类，一是改写整数（把多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数，先把原数的小数点向左移动，再在数的画面加写“万”字或“亿”字。），改写整数是不改变大小的，得到准确值；二是省略尾数（先用“四舍”或“五入”法省略指定数位后面的尾数，再在后面加上写相应的计数单位“万”字或“亿”字），是改变大小的，但是与原数近似相等。

（8）倍数和因数；定义：自然数a乘自然数b，所得的积c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。例如：5×6＝30,5和6是30的因数，30是5和6的倍数。倍数特征：一个数的倍数的个数是无限，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

（9）最大公因数、最小公倍数和互质数；最大公因数的定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。最小公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。几个数公有的倍数有无数个，没有最大公倍数。互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

（10）2,5,3的倍数的特征；2的倍数特征：个位上时0,2,4,6,8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上时0或者5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数学的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（9的倍数特征一样的规律）同时是2,5,3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，且个位上是0，这个数一定同时是2,5,3的倍数。

（11）奇数、偶数；奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。偶数：是2的倍数的数叫做偶数。数的奇偶性：①两个相同性质的数（都是偶数或都是奇数）相加减，结果都是偶数。（2）两个不同性质的数（一个奇数，另一是偶数）相加减，结果是奇数。

（12）质数、合数；质数的含义：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。合数的含义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。判断一个数是质数还是合数的方法：①判断一个数是质数还是合数需要看这个数的因数的个数，只有两个因数的数一定是质数，有3个或3个以上的因数的数都是合数。②个位上是0,2,4,6,8和5的数（除了2和5）一定不是质数，质数个位上只能是1,3,7和9（2和5除外）

   2.数的认识（二）小数、分数、百分数和比；

（1）小数；读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分从高位到低位顺次读出每个数位上得数字。写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来鞋（整数部分的零的写作“0”），小数点点在个位的右下角，小数部分从高位到低位顺次写出每个数位上的数字。小数的大小比较：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大……求小数的近似数：就是要用“四舍五入”的方法。小数化成分数的方法：先把小数改写成分母是10,100,1000……的分数，再约分，就化成了分数。小数化成百分数的方法：先将小数点向右移动两位，再在后面添上“％”，就化成了百分数。小数的分类：①按整数部分不同分类。（纯小数：整数部分为0的小数。带小数：整数部分不为0的小数。）②按小数部分不同分类。（有限小数：小数部分数位是有限的。无限小数：小数部分数位是无限的。）无限小数的分类：在无限小数中又分为无限不循环小数和无限不循环小数。（无限循环小数是指一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数；无限不循环小数是指一个小数的数位无限多，而且小数部分各数位上的数字是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数。）无限循环小数的分类：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

（2）分数；分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位。分数的分类：真分数（分子比分母小的分数）和假分数（分子大于或等于分母的分数）真分数和假分数的读法：先读“分母”，再读“分之”，最后读“分子”。带分数的读法：先读整数部分，再读“又”，最后读分数部分。分数大小的比较①真分数、假分数或整数部分相同的带分数，分母相同的分数，分子大的分数比较大。②分子相同的分数，分母小的分数比较大。③分子和分母都不相同的分数，先化成相同的分母的分数，再比较大小或者先化成分子相同的分数，再比较大小。④整数部分不同的带分数，整数部分大的这个分数就打。假分数与带分数或整数之间的改写：把假分数化成整数，要用分子除以分母，能正处的，所得的商就是整数，不能整除的，商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变。分数化成小数的方法：用分子除以分母，就能化成小数。分数化成百分数的方法：先将分数写成小数或整数的形式，然后再写成百分数。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

（3）百分数；定义：像5％,6％,100％……这样的分数叫做百分数，也叫百分比或百分率。表示一个数是另一个数的百分之几。读法：“％”叫百分号；20％读作：百分之十八。写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后向左移动两位，就化成了小数。百分数化成分数的方法：先将百分数改写成分母是100的分数形式，能约分的要约分。（4）分数和百分数的区别；分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能用来表示具体数，所以分数可以有单位，百分数不能有单位。（5）比；意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的意义的应用：根据比的意义可以求比值，用前项除以后项，得到的结果是一个数（分数或小数，有时是整数。）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。求比值和化简比：求比值是前项除以后项所得的商（用前项除以后项）。化简比：把两个数的比化成最简单的整数比。（前项和后项都乘或除以同一个数，0除外，也可以用求比值的方法，用前项除以后项，得出一个分数值。）（6）比、分数、除法的联系和区别；比的前项＝分数的分子＝除法的被除数；比的比号＝分数的分数线＝除法的除号；比的后项＝分数的分母＝除法的除数；比的比值＝分数的分数值＝除法的商。比是表示数量间的一种关系；分数是一个数；而除法是一种运算。

   3.常见的量；

（1）人民币的单位；之间的进率：相邻两个人民币单位间的进率是10，即1元＝10角，1角＝10分。元与角的改写：用元的数量×进率（100）＝角的数量；分与元的改写：用分的数量÷进率（100）＝元的数量。（2）时间单位及其进率；1世纪＝100年  1年＝12月  

大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月  

小月(30天)的有:4\6\9\11月 
平年2月28天，闰年2月29天  

平年全年365天, 闰年全年366天  

1日＝24小时  1时＝60分  1分＝60秒   1时＝3600秒

确定闰年的方法：公历纪年法中，是4的倍数的大多是闰年；公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。（3）质量单位；1吨＝1000 千克   1千克＝1000克   1千克＝1公斤

（4）名数的意义和改写；名数的意义：计量的结果，要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把它们合起来叫做名数。名数分为两类，单名数（只带有一个单位名称）和复名数（带有2个或2个以上的单位名称）复名数的改写①单名数转化为复名数的方法：1.先分解，整数部分就是相同单位上的数；2.小数部分化成低级单位上的数。②复名数化成单名数的方法：1.先分解高级单位上的数变成整数部分相同单位上的数。2.低级单位上的数化成小数部分。

   4.数的运算，

（一）运算的意义、（二）估算；（1）四则混合运算的意义和四则运算的互逆关系；1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数=和  一个加数=和－另一个加数 

2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。

3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，0和任何数相乘都得0。1和任何数相乘都的任何数。一个因数×一个因数=积     一个因数=积÷另一个因数

4 整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。被除数÷除数=商  除数=被除数÷商  被除数=商×除数

（二）小数四则运算

1. 小数加法：

小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 

2. 小数减法：

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 

3. 小数乘法：

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 

4. 小数除法：

小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 

5. 乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 

（三）分数四则运算 

1. 分数加法：

分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 

2. 分数减法：

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 

3. 分数乘法：

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 

4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 

5. 分数除法：

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 

（2）四则运算的法则：1. 整数加法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 

2. 整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 

3. 整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 

4. 整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 

5. 小数乘法法则：

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。   

6. 除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 

7. 除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。  

8. 同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 

9. 异分母分数加减法计算方法:

先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 

10. 带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 

11. 分数乘法的计算法则:

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 

12. 分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 

（3）估算方法；①四舍五入，要保留到哪一位，就看它的后一位，如果后一位上的数是4或者比4小就舍去，如果是5或者比5打，把它舍去，但要同时向它左边的单位上进1.②进一法，在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，在保留部分的末位上加1。③去尾法；在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，所保留的数不变。

  5.数的运算（三）计算与应用；（1）四则混合运算；1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 3. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。4. 有括号的混合运算:

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 

5. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 

6. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。

（3）分数、百分数应用题；

1  分数加减法应用题：分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。 

2分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 

3 分数除法应用题： 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际 

数量。 

4 出勤率 

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

5 工程问题： 

是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 

数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间 

工作效率=工作总量÷工作时间 

工作时间=工作总量÷工作效率 

工作总量÷工作效率和=合作时间 

6 纳税 

纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 

缴纳的税款叫应纳税款。 

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率。 

* 利息 

存入银行的钱叫做本金。 

取款时银行多支付的钱叫做利息。 

利息与本金的比值叫做利率。 

利息=本金×利率×时间  

（4）按比例分配；在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。（5）比例尺；图上距离：实际距离=比例尺 

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。（6）应用题类型；（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数    最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数      最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为  ，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是  ，汽车共行的时间为  +  =  , 汽车的平均速度为 2 ÷  =75 （千米）

（2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）总数量÷单一量=份数（反归一） 

例：一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量        单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。 

例：修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）