从2013年公务员国考数量关系学热点典型题型-牛吃草问题

先来看看2013年国考真题

【2013年国考70题】某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

A.25       B.30        C.35        D.40

【91成功解析】：选B。此题为典型牛吃草问题。只要明确题型后，本题算是比较简单的了。根据牛吃草公式，设该河段河沙沉积速度为x，则可以列出方程（80-x）×6=（60-x）×10，解得x=30，因此要想河沙不被开采枯竭，开采速度必须≤沉积速度，因此最多供30人开采。

题型分析： 

牛儿吃草问题根据“牛”和“草地”的不同，只有分为标准型牛儿吃草问题、牛羊同吃草问题、M头牛吃W亩草问题三种类型。无论“牛”的种类和数目怎么变化，最主要还是采用方程法列出方程，然后求解。考友们只要牢牢把握这三种主要类型，就能轻松搞定牛儿吃草问题。

1、 题型简介

牛儿吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出的。典型牛儿吃草问题通常给出不同头数的牛吃同一片草，这片草地既有原有的草，又有每天新长出的草，假设草的变化速度及原有存量不变，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。掌握牛儿吃草问题，可以帮助考友们解决原有存量的负载量“如原有草量可供几头牛吃多少天”问题。

2、核心知识

y=（N-x）×T

y代表原有存量（比如“原有草量” ）；

N代表促使原有存量减少的消耗变量（比如“牛数” ）；

x代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”，也就是每天生长的草量为x头牛一天吃的草量），如果草自然减少，“-”变为“+” ；

T代表存量完全消失所耗用的时间。

只要是标准型牛儿吃草问题、牛羊同吃草问题、M头牛吃W亩草问题三种类型，便可套用以上公式。所以，我们只需要记住这个公式及其使用方法就可以了，考试时碰到这种问题就是送分题！拿到试卷先扫一眼有没有牛吃草问题，有就先轻松直接拿下1分

3、核心知识使用详解

（1）有牛有羊时，需要将牛全部转换为羊，或者将羊全部转换为牛，再代入公式计算；

（2）出现“M头牛吃W亩草”时，N用“M/W”代入，此时N代表单位面积上牛的数量。

1.标准型牛儿吃草问题

例1：(江苏2009－78)

有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用8台抽水机10小时能把全池水抽干或用12台抽水机6小时能把全池水抽干。如果用14台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是：

 

A.5小时

B.4小时

C.3小时

D.5.5小时

【答案】 A

      “用8台抽水机10小时能把全池水抽干”，相当于消耗变量1为8，存量完全消失所耗用的时间1为10。

      “用12台抽水机6小时能把全池水抽干”，相当于消耗变量2为12，存量完全消失所耗用的时间2为6。

      “如果用14台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是”，相当于消耗3为14，求存量完全消失所耗用的时间3。

      依题意：

      设池中泉水的原有存量为y；

      每小时涌出的水量即自然增长速度为x；

      14台抽水机将泉水存量完全消失所耗用的时间3为T小时。

      代入公式：

y=(8-x)*10

y=(12-x)*6

y=(14-x) * T

解得x=2 ;y=60;T=5

 

      所以，选A。

2.牛羊同吃草问题

例2：牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？                          （ ）

A.2

B.60/13

C.79/12

D.8

【答案】 B

      将题目中的“羊”全部转换为“牛”。

      “这些草供给20头牛吃，可以吃20天”，相当于消耗变量1为20，存量完全消失所耗用的时间1为20。

      “供给100头羊吃，可以吃12天”、“1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量”，相当于消耗变量2为100/4＝25，存量完全消失所耗用的时间2为12。

      “那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？”，相当于消耗变量3为20＋100/4＝45，求存量完全消失所耗用的时间3。

      根据题意：

      设牧场上青草的原有存量为y；

      草每天的生长速度即自然增长速度为x；

      20头牛，100只羊同时吃这片草可以吃的天数即存量完全消失所耗用的时间3为T天。

      代入公式：

y=(20-x)*20

y=(25-x)*12

y=(45-x)*T

解得x=25/2 ;y=150;T=60/13

 

      所以，选B。

 

3.M头牛吃W亩草问题

例3：如果22头牛吃33亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40亩牧场的草，需要多少头牛？（   ）

A.50

B.46

C.38

D.35

      【答案】 D

      此题属于M头牛吃W亩草问题，将单位牧场的牛数代入“N”。

      “如果22头牛吃33亩牧场的草，54天后可以吃尽”，相当于消耗变量1为22/33，存量完全消失所耗用的时间1为54。

      “17头牛吃28亩牧场的草，84天可以吃尽”，相当于消耗变量2为17/28，存量完全消失所耗用的时间2为84。

      “那么要在24天内吃尽40亩牧场的草，需要多少头牛？”，相当于存量完全消失所耗用的时间3为24，求消耗变量3。

      根据题意：

      单位牧场草的原有存量为y；

      单位时间草的增长量即自然增长速度为x；

      要在24天内吃尽40亩牧场的草需要牛的头数即消耗变量3为N。

      代入公式：

y=(22/13-x)*54

y=(17/28-x)*84

y=(N/40-x)*24

解得x=0.5 ;y=9;T=35

      所以，选D。

 

进阶训练

1.标准型牛儿吃草问题

例4：(江苏2008C类－19)

春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅人口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。现决定使大厅人口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，并在2小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为：

 

A.15

B.16

C.18

D.19

      【答案】 C

      “如果开10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票”，相当于消耗变量1为10，存量完全消失所耗用的时间1为5。

      “如果开12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票”，相当于消耗变量2为12，存量完全消失所耗用的时间2为3。

      “在2小时内使大厅中所有旅客买到票”，相当于存量完全消失所耗用的时间3为2，求消耗变量3。

      根据题意：

      设售票大厅旅客的原有存量为y；

      每小时买好票的旅客即自然增长速度为x；

      “现决定使大厅人口处旅客速度增加到原速度的1.5倍”，即自然增长速度变为1.5x；

      2小时内使大厅中所有旅客买到票至少应开售票窗口数即消耗变量3为N；

      代入公式：

y=(10-x)*5

y=(12-x)*3

y=(N-1.5x)*2

解得x=7 ;y=15;T=18

      所以，选C。

例5：

有一水池，在某次大雨后灌满了一池水，水在池底以均匀的速度渗走进入深层地下水。如果想把水池的水抽干，8台抽水机需要3小时，5台抽水机需要4小时。如果想在6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？（   ）

A.4

B.3

C.2

D.1

      【答案】 C

      “8台抽水机需要3小时”，相当于消耗变量1为8，存量完全消失所耗用的时间1为3。

      “5台抽水机需要4小时”，相当于消耗变量2为5，存量完全消失所耗用的时间2为4。

      “如果想在6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？”，相当于存量完全消失所耗用的时间3为6，求消耗变量3。

      根据题意：

      设池水的原有存量为y；

      水在池底的渗走的速度即自然增长速度为x，由于是减少量，“－”变为“＋”；

      6小时之内抽干水至少需要抽水机的台数即消耗变量3为N。

      代入公式：

y=(8+x)*3

y=(5+x)*4

y=(N+x)*6

解得x=4 ;y=36;T=2

      所以，选C。

2.M 头牛吃W亩草问题

例6：某船的若干个排水舱因故障渗进了相同多的海水，并且还在以相同且恒定的速度渗进更多的海水。船长分别指派24个、50个、36个水手去处理船头（4个排水舱）、船中（10个排水舱）和船尾（8个排水舱）的渗水。6分钟后，船头处理完毕，再过3分钟，船中处理完毕，请问再过几分钟船尾可以处理完毕？

A.1

B.2

C.3

D.4

      【答案】 C

      此题属于M头牛吃W亩草问题，单位排水舱的水手数代入“N”。

      “船长分别指派24个、50个、36个水手去处理船头（4个排水舱）、船中（10个排水舱）和船尾（8个排水舱）的渗水。6分钟后，船头处理完毕，再过3分钟，船中处理完毕，”，相当于消耗变量1为24/4，消耗变量2为50/10，消耗变量3为36/8，存量完全消失所耗用的时间1为6，存量完全消失所耗用的时间2为6＋3＝9，

      求存量完全消失所耗用的时间3。

      根据题意：

      单位排水舱水的原有存量为y；

      单位时间进水量即自然增长速度为x；

      处理船尾还需要的时间为T。

      代入公式：

y=(24/4-x)*6

y=(50/10-x)*(6+3)

y=(36/8-x)*(6+3+T)

解得x=3 ;y=18;T=3

      所以，选C。