三角形的内切圆

　　教学目的：

　　1．使学生掌握三角形的内切圆的作法．

　　2．使学生掌握三角形内心的定义和性质．

　　教学的重点和难点：

　　三角形的内切圆的作法和三角形的内心的应用即是重点，又是难点．

　　教学过程：

　　一、复习与提问

　　(学生回答)

　　角的平分线的性质定理和判定定理

　　二、讲授新课

　　1．和三角形的各边都相切的圆．

　　从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？(使学生认识到作三角形的内切圆的实际意义)就是下面的问题．

　　例1 作圆，使它和三角形的各边都相切．

　　已知：△ABC

　　求作：和△ABC各边都相切的圆．

　　教师先画出草图(图7－161)，然后引导学生分析，寻求作图的思路．(抓住作圆需要“确定圆心和半径”这个关键)提出问题让学生答出：(1)作圆的关键是什么？(确定圆心和半径)；(2)假设⊙I是所求作的圆．并且⊙I和△ABC的三边分别切于点D、E、F，圆心I应满足什么条件？(点I到三角形的各边的距离都相等)怎样根据条件确定圆心I的位置？(点I在三角形ABC的各内角平分线上)；(3)当圆心I确定之后，半径又应怎样确定？(点I到三角形各边的距离)

 

　　分析得出，作圆首先是确定圆心的位置，要作与△ABC三边都相切的圆，就是要求出一点作为圆心，使它和三角形的各边的距离都相等，我们知道，AB、BC两边距离相等的点一定在∠B的平分线上，到AC、BC两边距离相等的点也一定在∠C的平分线上．而∠B、∠C平分线的交点又必在∠A的平分线上(为什么？让学生回答)这就确定了所作圆的圆心位置．再由这点到三角形各边距离相等，确定出所求作圆的半径．由此得出三角形的内切圆的作法．教师重新作图以示分析和作法的区别．要求学生自己说出作法．

　　作法：1．作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I．

　　2．过点I作ID⊥BC，垂足为D点．

　　3．以点I为圆心，ID为半径作⊙I．

　　⊙I就是所求的圆．

　　(启发学生答出证明过程)

　　证明：过点I分别作CA、AB的垂线、垂足为点E、F．

　　∵点I在∠ABC和∠ACB的平分线上．

　　∴ IF=ID，IE=ID

　　∴ D、E、F都在⊙O上．

　　又∵ BC、CA、AB经过点D、E、F且BC⊥ID，CA⊥IE，AB⊥IF．

　　∴△ABC的三边BC、CA、AB都与⊙I相切．

　　根据作法提出和三角形各边都相切的圆能作出几个？(学生自己讨论)得出和三角形各边都相切的圆可以作出一个且只可以作出一个这个结论．

　　2．三角形的内切圆及有关概念

　　和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

　　要区别开三角形的内切圆及圆的外切三角形，并与三角形的外接圆与圆内接三角形的概念相比较，以加深对这四个概念的印象．教师要强调学生弄清“内”与 “外”，“接”与“切”的意思．“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”．还要区别开三角形的内心和外心，三角形的内心是三角形内角平分线的交点，若三角形的内心已知，过三角顶点和内心的射线平分三角形的内角，这一点要向学生说明．

　　3．应用举例

　　例2 如图7—162，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是三角形的内心．

　　求：∠BOC．

 

　　分析：要求∠BOC的度数，只要知道∠OBC和∠OCB的度数就可以了．因为O是三角形的内心，OB、OC是∠ABC和∠BCA的平分线，所以再根据已知条件，就能求出∠BOC的度数．

　　(由教师引导学生分析，得出解法，教师再写出解题过程．)

　　解：∵ O点是△ABC的内心

　　

　　∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)

　　=180°-(25°+37.5°)=115.5°

　　∴ ∠BOC等于117. 5°．

　　三、小结

　　1．三角形的内切圆的作法．

　　2．三角形的内心是三角形各内角平分线的交点，这点到三角形的各边的距离都相等．

《三角形的内切圆》教学反思

本节课的教学目标是探索三角形内切圆及其做法，进而进行三角形内有关内切圆的半径等的计算。从本质上讲，三角形的内切圆为三角形内所做的最大的圆，对于学生来说，探索三角形的内切圆有一定的难度。教学时，我将本节课分为三个步骤：探索三角形内切圆及其做法；明晰三角形内切圆概念；有关三角形内切圆的计算。

图1

第一步，探索三角形内切圆及其做法。我舍弃课本中的合作学习，设计了一个联系生活实际的问题：同学们一定玩过在河边扔石头的游戏，当石头扔进水里，在水面上会泛起一圈圈的波纹，这些波纹我们可看成是什么几何图形？（生答：圆。师：对！同心圆。圆心在哪个位置？生：石头入水的位置。）

投影：一条两岸平行的小溪（如图1）

问题⑴：往小溪里扔下一块石头，当泛起的圆面积达到最大时，圆与岸有什么位置关系？

图2

问题⑵：要使泛起的圆面积尽可能的大，石头该扔在何处？泛起的圆面积最大时圆与两岸有什么位置关系？圆的半径为多少？

投影：一条小溪，两岸不平行（如图2）

问题⑶：若小溪两岸不平行，要使产生的波纹圆面积尽可能的大，圆和两岸有什么位置关系？石头该仍在何处？当面积达到最大时，圆的半径为多少？

此问题背景可以说是每位学生都经历过的，学生有一定的生活经验，所以比较容易吸引学生的眼球，探索过程中学生饶有兴趣。在问题设置上从简到难，步步深入。特别是前三个问题相对简单，学生很容易将生活问题与数学知识联系起来，从而为问题⑷的解决奠定了思考方向。但我觉得四个问题虽然学生能够明白意思，但在语言表述上缺乏规范性，因此有待进一步斟酌。

第二步，明晰三角形内切圆概念。给出三角形内切圆相关概念后，我通过表格将其与三角形外接圆进行对比，明晰概念。

 

	三角形内切圆	三角形外接圆
定义	与三角形三边相切	经过三角形三个顶点
圆心	内心（三角平分线交点）	外心（三边中垂线交点）
半径	圆心到一边的离	圆心到顶点的距离

通过知识的横向对比，不仅帮助学生回顾相关知识，同时在对比的过程中对概念有进一步的认识，从而对知识加深印象。但从作业反馈看，学生对名词的掌握不够深刻，不少学生将内切圆误写成内接圆。因此教学时还需对数学名词进行适当强调。

第三步骤：有关三角形内切圆的计算。

例1如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆。已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3cm，求圆柱底面圆的半径。

在例1的基础上，我继续要求学生边长为6cm的正三角形的内切圆和外接圆半径，求底边长60cm，腰长50cm的等腰三角形的内切圆半径和外接圆半径差。巩固了正三角形内切圆半径的求法，同时也将问题拓展到等腰三角形及外接圆半径，从而得出求特殊三角形内切圆半径的一般思路与方法。

例2：已知:如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，设△ABC的周长为l，求证：AE+BC= l

在例2解决的基础上，我又将BO，CO连接，让学生观察图形的特征，培养学生的看图能力，同时又问：若设内切圆半径为r，三角形周长为l，请用l和r表示三角形ABC的面积。从而得出一般三角形求内切圆的方法。

通过问题的变形与拓展，可以将知识分类，联系，从而形成解决问题的思路与方法，训练学生的思维，达到提高学生解题能力的目的。