锐角三角函数（2）

教学目标   

    (一)教学知识点

    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

    2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

    3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

    (二)思维训练要求

    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.

    2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

    (三)情感与价值观要求

    1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.

    2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

    2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

    3.比较锐角三角函数值的大小.

教学难点

    进一步体会三角函数的意义.

教学过程

    Ⅰ.创设问题情境，引入新课

    [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

    (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)

[生]我们组设计的方案如下：

 

    让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.

    [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?

    [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一

半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)²＝CD²+a².

    CD＝ a.

    则树的高度即可求出.

    [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°= ，则CD=

atan30°，岂不简单.

    你能求出30°角的三个三角函数值吗?

    Ⅱ.讲授新课

    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

    [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?

    [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.

    [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.

    [生]sin30°＝ .

sin30°表示在直角三角

形中，30°角的对边与

斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝ .

    [师]cos30°等于多少?tan30°呢?

    [生]cos30°＝ .

    tan30°=

    [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?

    [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°= ,

    cos60°= ,

    tan60°＝ .

    [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°= cos60°=sin(90°-

60°)=sin30°= .

    [师生共析]我们一同来

求45°角的三角函数值.含

45°角的直角三角形是等腰

直角三角形.(如图)设其中一

条直角边为a，则另一条直角

边也为a，斜边 a.由此可求得

    sin45°= ,

    cos45°＝ ,

    tan45°=

[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)

30°、45°、60°角的三角函数值

三角函数角	sinα	coα	tanα
30°
45°			1
60°

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.

    为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?

    [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为 ， ， ，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.

    [师]再来看第二列函数值，有何特点呢?

    [生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为 ， ， ，余弦值随角度的增大而减小.

    [师]第三列呢?

    [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.

    [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、

45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.

    2.例题讲解(多媒体演示)

    [例1]计算：

    (1)sin30°+cos45°；

    (2)sin²60°+cos²60°-tan45°.

分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin²60°表示(sin60°)²，cos²60°表示

(cos60°)².

    解：(1)sin30°+cos45°= ,

    (2)sin²60°+cos²60°-tan45°

    =( )²+( )²-1

    =  +  -1

    ＝0.

    [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)

    分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

    解：根据题意(如图)

可知，∠BOD=60°，

OB=OA＝OD=2.5 m，

∠AOD＝ ×60°＝30°，

    ∴OC=OD·cos30°

=2.5× ≈2.165(m).

    ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).

    所以，最高位置与最低位置的高度约为

0.34 m.

    Ⅲ.随堂练习

    多媒体演示

    1.计算：

    (1)sin60°-tan45°；

    (2)cos60°+tan60°；

    (3) sin45°+sin60°-2cos45°.

    解：(1)原式＝ -1= ；

    (2)原式= +=

(3)原式= × + × ；

=

    2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?

    解：扶梯的长度为 =14(m)，

    所以扶梯的长度为14 m.

    Ⅳ.课时小结

    本节课总结如下：

    (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.

    sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；

    cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；

tan30°= ，tan45°＝1，tan60°= .

    (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

    (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.

    Ⅴ.课后作业

    作业本

    Ⅵ.活动与探究

(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?

(精确到0.1 m， ≈1.41， ≈1.73)

 

    [过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.

    [结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24× =8 m.

    ∵DF＝BE，

    ∴DF=8 ≈8×1.73＝13.84(m).

    甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).

         教     学     反     思

1、对教学目标的反思：在知识目标上，要求学生经历探索30º、45º、60º角的三角函数值的过程,会计算含有这些特殊锐角的三角函数式的值。这节课是在上节课的基础之上来对特殊角的三角函数值来认识的，可以说难度不大，而且很容易接受。目标的设定正好符合学生的最近发展。一节课下来，即实现既定的教学目标，又对学生进行了实践的锻炼。

2、对教学过程的反思：在课堂上充分体现教学主体、教学有效、教学民主，在教学中以调动学生的思维为主。课堂设计完全根据他们的特点而设计，学生差异很大，而且层次不同，教学难度很大，课堂上充分培养学生的自主性与创造性，把问题简单化与形象化，把数学问题转化为现实生活中的具体实例，这样也便于理解。（1）课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好。设计引题开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便。（2）在讲解特殊角三角函数值时讲解的也很细，可以说前部分的教学很成功，学生理解的很好。但是由于对教材分析的不够透彻，对记忆三角函数值这一环节有所忽略，觉得在课堂上应该安排一部分时间给学生记忆以及给学生讲解记忆的方法，虽然提及了一部分，但是不够透彻、详尽。在这个环节上应该加强一下，效果会更好一些。接下来的例题在学生有表格的前提下学生完成的很好，可以说锻炼到了学生，也达到了教学目的，可以说学生也有了很大的收获。但在接下来的教学中觉得在这个环节上应当加一些学生自主的练习，而这也必须在记忆实施的环节下进行的，可以说一个环节丢掉，就会丢掉一系列的环节，可以说基本功练的不够。而这个环节就是要求学生在记忆的前提下计算相应的三角函数式的计算求值。（3）总结上我只用了几句简单的话进行了这节课的总结，我感觉很好，但一些有教学经验的教师说总结可以更细腻一些，经过思考，对于我们这的学生，总结到细处，更实际一些，效果更好一些。可以说我这部分的教学对学生是无效的，从现象上看只是一个形式而已。

3、对学生发展的反思：在课堂上没有必要去掌握过于难的题目，根据他们的特点重点就是掌握书本上最基本的题目，所以在课程设计上不宜安排过难的题，要做好量体裁衣。使学生在课堂上真正有所收获，完全体现教学的有效性，使学生获得知识与能力的提升，使学生的意志和情感得到充分的发挥。

4、对自己的反思：在安排这节课时，我翻阅了大量的资料以及在网上查了大量的信息。然后综合安排了自己的教学，回想起来，教学中的一些题目安排没有正确估计学生的真实水平，结果在时间上有一点乱，该细的没细，一节课在本质上就仅仅是为学生所服务的，所以必须着眼于学生，从实际出发，只有这样教学才会起到效果。

以上是我对自己这节教学的反思，真正感觉到教学必须着眼于教学的目的性以及实效性，我们正在进行的课程改革的目的，并不仅仅是换套新的教材，或是说用了新的标准的问题。我们的目的是要改变教学理念以及学生的学习方式，使课堂里面的情况发生变化，从而推进素质教育的进程。