中考动点型问题复习

教学内容：动点问题

教学目标：

1.能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置等进行分析探究，学会寻找变化过程中的不变量，并借助三角形有关的知识点来解答问题。

2.通过多媒体展示动点问题中的动中求静，使学生充分感受到解决动点问题的实质是变动为静、寻找不变的量。

3.使学生通过知识网络结构图，体会归纳总结的思想方法，在解题过程中体会分类思想、数形结合思想、方程思想、函数思想、转化思想。

教学重点：动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。

教学难点：动中求静，分类讨论，画出图形。

教学过程：

    动点问题是近年来中考的一个热点问题，所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线或弧线上运动的一类开放型题目。

数学中考动点型问题类型

知　识　点		名师点晴
动点问题中的特殊图形[]	等腰三角形与直角三角形	利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题
	相似问题	利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题
动点问题中的计算问题	动点问题的最值与定值问题	理解最值或定值问题的求法
	动点问题的面积问题	结合面积的计算方法来解决动点问题
动点问题的函数图象问题	一次函数或二次函数的 图象	结合函数的图象解决动点问题

 

归纳 1：动点中的特殊图形

基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直

基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质

注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．

【例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

（1）求BC边的长；

（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；

（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值

归纳 2：动点问题中的计算问题

基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．

基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．

注意问题归纳：在计算的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（      ）

A．12/5       B．4       C．24/5    D．5        

                                                       （例2图）

练习：（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　    　．

（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

 

归纳 3：动点问题的图象

基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．

基本方法归纳：一次函数图象是一条直线，反比例函数图象是双曲线，二次函数图象是抛物线．

注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．

 

【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）

 

归纳4：函数中的动点问题

基础知识归纳：函数中的动点问题的背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

基本方法归纳：一是利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题；二是利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

注意问题归纳：化动为静，画出符合条件的图形。

【例4】（2015年江苏盐城12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 的对称轴绕着点P（ ，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

巩固练习：

1. （2015年江苏扬州3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=    ▲    ．

2. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线  与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为    ▲    ．

 （第1题） （第2题）

3. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为 的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

 

 

 

 

 4. 如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8，4)，顶点C,D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4，0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P坐标．

（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有　　　　　个．

作业：

1.（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　）

 A．    B．    C．  D． 

2.（2015乐山）如图，已知直线  与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）

A．8      B．12      C．21/2     D．27/2

 （第2题）  （第3题）

 

3.（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为  ．其中正确的说法是        ．（把你认为正确的说法的序号都填上）

4.（2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5,分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数 的图像经过点D且与边BA交于点E，连接DE.

（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=         ；

（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；

（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

 5. （2015年江苏宿迁8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数 的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．

（1）求k的值；

（2）求△BMN面积的最大值；

（3）若MA⊥AB，求t的值．

 

 

 

6. （2015年江苏常州10分）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．

（1）写出点A的坐标；

（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S₁、S₂，求 的值．

 

 

 

 

 

 

教学反思：动点问题是近年来中考的一个热点问题，解决这类问题要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。首先根据题意理清题目中的变量找出与它相关的常量；第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，灵活运用有关数学知识解决问题。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。解动点问题的关键是动中求静，然后运用数形结合等思想进行分类讨论。