学习目标

知识与技能

（1）通过回顾与思考，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题；

（3）进一步了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)．

过程与方法

（1）通过回顾与思考进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

（3）在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

（4）通过估计一元二次方程解的过程，发展估算的意识和能力。

情感态度

与价值观

通过师生共同的活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感．

教学重点

1．一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法；

2．列一元二次方程解决实际生活中的问题．

教学难点

1．列一元二次方程解决实际问题；

2．转化的思想方法

教学方法

“尝试指导，效果回授”教学法

学法指导

发现法、练习法、合作学习。

教学资源

借助多媒体展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

教        学       程       序

教学内容

师生互动

媒体使用与教学评价

活动一 揭示课题，提出要求

一 、揭示并板书课题

一元二次方程复习与小结

二、出示复习要求

（一）

1、本章主要学习哪些知识？哪些思想方法？

2、举例说明什么叫一元二次方程? 一元二次方程的解法思想是什么？常用解法有哪些？各种解法的适应范围分别是怎样的？

3、怎样利用一元二次方程根的判别式判别根的情况？

4、一元二次方程根与系数又怎样的关系？在应用时应注意什么？

（二）你认为本章知识之间有怎样的关系？请用你喜欢的方式构建本章知识结构图，并与同伴交流。

【教师活动】

1、揭示并板书课题

2、出示复习要求

【学生活动】

1、一名学生朗读复习要求

2、结合要求反思回顾

【媒体使用】

（1）出示复习要求

【设计意图】

出示复习要求，通过学生的朗读使学生明白本节课的任务及要求。

活动二：知识梳理，建构体系

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【教师活动】

1、针对前面复习提纲，提问检查，结合检查情况，板书知识结构图，用实物展台展示评价学生建构的知识结构图。

2、随机强调注意事项：1）一元二次方程概念中的三个条件缺一不可；2）降次是解一元二次方程乃至高次方程的基本思想，必须加以体会； 3）注意四种解法的联系，配方法、公式法是通法，直接开平方法是配方法的一个重要环节，因式分解法是特技；4）根的判别式及根与系数的关系的双向应用。

【学生活动】

学生回忆回答教师提出的问题

【教师活动】

（1）教师可以有目的的提问学生

（2）教师简单的评析。

【媒体使用】

（1）出示知识结构图

【设计意图】

通过知识结构图的展示，使学生对本章知识有一个整体完整的认识。以便形成知识体系。

活动三：基础训练 查缺补漏

题组一

1、选择填空

（1）下列方程是一元二次方程的是（    ）

A、x =0       B、3x² - y -1=0

C、4x-x²=0  D、ax² +ｂx+c=0

（2）解方程x²+12x=0时，最合适的解法是（   ）

A、直接开平方法 B、配方法

C、公式法       D、因式分解法

（3）用配方法解方程4y²+8y-4=0，在将二次项系数化为1后，应做的变形是（   ）

A、方程两边同加上2y²   

B、方程两边同加上2y

C、方程两边同加上1

D、方程两边同减去1

（4）下列方程有两个相等的实数根的是（   ）A、2x²+3x-4=0

B、16y²+9=24y

C、5(x²+1)-7x=0

D、2x²-3x=5

(5)若方程2x²-kx-5=0的一个根是1，则k=(    )

A、3  B、1  C、-3  D、3

2、填空

（1）已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0。

①当m　　　　　　   时是一元二次方程。

②当m=　　　　时是一元一次方程。

③当m= 　　　 时，x=0

（2）方程（x-2)²=12的解是______________

（3）方程x²-x=0的一次项系数是_______,常数项是_____.

（4）关于x的方程x²-(k+1)x-k=0根的情况是_________________.

(5)若直角三角形的两条直角边长分别是方程x²-7x+12=0的两根，则此直角三角形的周长是_________.

（6）尧柏水泥厂今年的一季度生产水泥a吨，以后每季度比上一季度增产x%，则第三季度生产水泥的吨数是_____________.

题组二：解答下列各题

1、选择适当地方法解下列方程

(1)x²-4x+3=0

(2)(x-3)²-(x+6)=0

(3)1-8x+16x²=2-8x

(4)x²+5x+3=3x+7

2、在学习一元二次方程解法之后的“一对一”帮扶活动中，小刚给小颖出了一个解方程练习题：3（x-2)²=2(x-2)，下面是小颖的解题过程：

解：两边除以（x-2),得

       3（x-2)=2

∴x-2=3/2

∴x=-1/2

小刚认为小颖的解题过程有问题，可又说不出问题出在哪里？你能帮帮小刚吗？

3、若代数式x²+3x+5的值为7，求代数式3x²+9x-2的值

题组三：拓展应用，迁移提升

1、在一块东西为64m、南北为162m如图所示的矩形地上，挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m²。那么水渠应挖多宽？

http://s14/mw690/00293dI0gy6SXIu5leJdd&690

2、解方程组

    x+y=7

    xy=12

3、一次函数y=k'x+b和反比例函数y=k''/x的图象相交于点P(m-1,n+1),点Q(0,a)在函数图象y=k'x+b的图象上，且m,n是关于x的方程ax²-(3a+1)x+2(a+1)=0的两个相异实数根，其中a为整数。

（1）求一次函数和反比例函数的解析式。

（2）在同一直角坐标系中画出函数图象。

（3）

解：ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0

∴(x-2)[ax-(a+1)]=0

∴x1=2,x2=a+1/a

关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不等的整数根，且a为整数，

∴a+1/a是整数，且a≠0。∴a=±1

  当a=1时，x2=x1=2

  ∴a=1不符合题意，舍去。

  当a= -1时，-x^2+2x=0,∴x1=2,x2=0

  ∴a= -1符合题意。∴a= -1 

  ∴Q点的坐标为（0，-1），关于x的方程为x2-2x=0。

  ∵m、n是方程的两个不等的整数根，

∴m=0,n=2或m=2,n=0

  ∴P点的坐标为(-1,3)或（1,1）。

  ∵点Q（0，1）在直线y=k’x+b上

∴b=-1,∴y=k’x-1

  （1）当直线y=k’x-1和反比例函数y=k”/x的图象相交于点p(-1,3)时，

-k’-1=3                k’=-4

K”/(-1)=3    解得      k”=-3

  ∴一次函数的解析式为y=-4x-1，反比例函数的解析式为y=-3/x

  （2）当直线y=k’x-1和反比例函数y=k”/x的图象相交于点（1,1）时，

K’-1=1           k’=2

K”=1       解得   k”=1

  ∴一次函数的解析式为y=2x-1，反比例函数的解析式为y=1/x。

  综上所述，一次函数的解析式为y=-4x-1，反比例函数的解析式为y=-3/x。

  或一次函数的解析式为y=2x-1，反比例函数的解析式为y=1/x。 

附：表一一元二次方程解法一览图

表二：一元二次方程根的情况一览表

【教师活动】

1、出示题组一第1题，结合学生回答，相机引导回顾相关知识要点，具体如下：

（1）结合学生对1（2）的回答，追问：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法所适应方程的特点是什么？各种方法的解法步骤是怎样的？结合学生回答，以表格形式再现各种解法所适应方程的特点及解法步骤（见附表一）。

（2）结合问题1（3）解答强调配方法的关键——系数化为1后给方程两边同加上一次项系数一般的平方。

（3）结合1（4）解答，追问：什么叫一元二次方程根的判别式？如何运用其判别根的情况？结合学生回答以表格形式呈现根的判别式判别根的情况（见附表二），强调：使用根的判别式判别根的情况时，必需先将方程化归一般式。

（4）结合1（5）的解答，强调出示一元二次方程根与系数的关系

出示相关答案。

2、出示题组一第2题，处理方法同1题

3、出示题组二第1题，将学生分为A、B组，分别完成单双号题，交换检查，教师巡视检查，重点关注学困生表现。提两名学困生板演，集体鼓励帮扶。

4、出示题组二第2、3题，先独立思考，若能独立回答，则提问解答，否则将学生分成四人小组讨论解答，强调：（1）方程两边同除以或乘以含有未知数的式子有可能缩小或扩大未知数的取值范围，导致漏解或增解，必须慎重。（2）对于诸如代数式求值问题，可以根据条件代数式的值求出x的值后，代入计算（通法），但计算过程比较复杂，一般情况下，要注意运用整体思想，从条件入手，先求出x²+3x的值，然后将3x²+9x-2变形为3（x²+3x）-2后代入求值，还可以直接将3x²+9x-2变形为3（x²+3x+5）-17后代入计算。

5、出示题组三第1题，诱导：题中的已知量和未知量分别是什么？若设水渠的宽为x米，则水渠所占面积应怎样表示？你会列方程求解吗？（只列不解）结合学生回答，展示解题过程。

6、出示题组三第2题，诱导：本题的实质是什么？怎样求解？提一名学生口述解题过程，媒体展示。

7、出示题组三第3题，引导分析：本题的条件有哪些？要求是什么？要求函数解析式得先求什么？怎样求方程

ax²-(3a+1)x+2(a+1)=0的两根？结合学生回答，展示解题过程，强调:解一元二次方程与函数综合题目的一般思路是从函数与方程的关联点入手，逐步探寻解决途径。（2）（3）可作为课外探究

【学生活动】

1、口答题组一及其追问中的问题。

2、纸笔独立演练题组二第1题，参与同桌演练及板演情况评价。

3、先独立思考完成题组二第2、3题，参与小组讨论评价，总结归纳第3题解法特技。

4、独立完成题组三第1题（只列不解），体会方法多样性。

5、结合教师诱导，思考应答题组三第2、3题，欣赏解题过程。

【媒体应用分析】

利用大屏幕依次出示问题三个题组，结合学生回答，相机出示相关问题的解答过程及知识要点，以期增大课堂容量，展示学生思维活动过程，提高课堂教学有效性。

【设计意图】

通过梯次递进的问题序列，引导学生在问题解决中检索相关知识要点，体现“用中思，思中忆，忆中悟，悟中学”。具体为：

（1）题组一旨在检索本章相关知识

（2）题组二第1题旨在根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握通过因式分解法、配方法开平方法、公式法等解一元二次方程的基本解法。

（3）题组二后面两题旨在把学生推到思维的前沿。因为是复习，每个问题都让学生自己会议思考并回答。让学生自探数学知识，自获数学结论，自由发表见解，自觉积累数学活动经验、建构新的认知结构，发展学生的数学探究能力，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。培养学生的归纳总结意识。

（4）题组三为拓展应用、迁移提升题，旨在训练学生综合运用本章及其以前学习的知识灵活解决问题的能力，加强知识之间的整合与融合，达到举一反三、触类旁通。

【媒体使用】

（1）出示一元二次方程根的判别式

（2）出示判别式的三种情况

【设计意图】

掌握一元二次方程根的判别式的三种情况。能利用此知识点判别一个方程根的情况。

板书：一元二次方程根与系数的关系

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  以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0.

设 x₁ 、 x₂是下列一元二次方程的两个根，练习填写下表

【设计意图】

（1）根据课表使学生掌握一元二次方程根与系数的关系

（2）练习：1、填表让学生知道两根之积和两根之和分别等于什么？练习2、使学生会利用一元二次方程根与系数的关系求待定系数及另一根。

活动四 全课小结，提炼升华

教师概括：本章重点学习4114，其中 “四个一”是一个概念：一元二次方程；一种思想：降次；一个应用:列一元二次方程解应用题；一种关系：一元二次方程根与系数的关系；“一个四”是一元二次方程的四种解法（略）。注意：（1）一元二次方程与一元一次方程、一元一次不等式、一次函数、反比例函数之间的联系。（2）规范解题。（3）对应用题要善于抓表示等量关系的关键词及解后检验。

【教师活动】

1、提问：通过本节学生有哪些收获？还有哪些困惑？

2、在学生小结的基础上，进行概括小结。

【学生活动】

1、阅读p₅₂本章知识结构图

2、回忆活动二本章的知识点

【媒体应用分析】

再现本章知识结构图，引导学生再次查补缺漏，使所学知识更加系统化、条理化。

【设计意图】

用整体视角的条分缕析本章知识，使本章知识融入已有的认知结构。

 推荐作业，深化巩固

必做题：p₅₃页复习题22第1题（2）(4)(6)(8)4题（2）（4）

选做题：p₅₄11题。

变式题组三的第3题。

【教师活动】课件展示作业题

【学生活动】按照要求自主完成作业

【设计意图】尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造条件，作业分层推荐、分类要求。

板书设计

课题

一元二次方程复习（一）

一、知识要点

概念：

应用：

思想：降次

关系：根与系数的关系

解法：四种解法，公式法是通法；其他三种是特技。

二、注意：（1）（2）（3）

学生练习

【设计意图】

看自然，写方便，

展思路，显重点。