课题

5.6 三角形的中位线

教学目标

1、了解三角形的中位线的概念；

2、了解三角形的中位线的性质“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半”和定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”；

3、能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力；

4、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。

重点难点

重点是三角形的中位线定理。三角形的中位线定理的证明，因为其中添加辅助线的方法和思想学生比易掌握，是本节教学的难点。

教学

设想

结合教材编写思路，首先要创造性使用教材中的问题情景，把教材中不动的问题情景转化为学生互动的问题情景，使学生在互动中去感受。而有关的一些知识，都是在教师的引导下，经过学生充分的思考、讨论，并结合大量特例，由学生自己归纳、总结发现。此外，还要根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展，真正把课堂还给学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者。

教 学 流 程 设 计

课前预习

教  学  过  程

备 注

一、创设情境，引入新课

情境1、如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？

情境2、如图，如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，证明BE=EF=FD。

首先要让学生叙述上述两个问题的类似之处：在三角形中都有两边的中点（隐含三角形的中位线）。在让学生口述清净2中问题的证明思路。在这里，只需要分析思路即可：要证三条线段相等，一般情况下证两两线段相等。如要证BE=EF=FD，只要BE=EF和EF=FD即可。因此要首先证出四边形AMCN是平行四边形，然后结合定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”证出。（在后面补充介绍）。

二、合作学习，发展能力：

2、动手操作：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片

（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形，剪痕的位置有什么要求？

（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？

3、引导学生概括出中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。三角形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路。）

问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？

——启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。并结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在⊿ABC中，画出中线、中位线

4、猜想：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）

三、师生互动，探究新知

1、证明你的猜想（引导学生写出已知，求证，并启发分析）

已知：⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DEBC。

启发1：证明直线平行的方法有哪些？（由角的相等或互补得出平行，由平行四边形得出平行等）

启发2：证明线段的倍分的方法有哪些？（截长或补短）

学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程，强调有其他证法。

证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE，则D，E，F同在一直线上，DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE。

∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴AB∥CF。又∵BD=AD=CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC（根据什么？），∴DEBC。

2、进行题后小结：

对于一些没能直接进行证明的问题，我们通常采用的思想是将它转化为我们熟悉的图形，如上面的证明方法，就是将三角形的中位线（新知识）转化为平行四边形和全等三角形（旧知识），进行证明的，当然这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线。可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明。如右图中的辅助线等。我们可以发现：主要思路还是进行适当的转化。

l）延长DE到F，使EF=DE，连结CF，由△ADE≌△CFE，可得ADFC。

（2）延长DE到F，使EF=DE，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得ADFC。

（3）过点C作CF∥AB，与DE延长线交于F，通过证△ADE≌△CFE，可得ADFC。

3、启发学生归纳定理，并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半——三角形中位线定理。

为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析三角形中位线定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（也可以单独用其中结论）。

四、学以致用、落实新知

1、练一练：已知三角形边长分别为6、8、10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？

2、想一想：如果⊿ABC的三边长分别为a、b、c，AB、BC、AC各边中点分别为D、E、F，则⊿DEF的周长是多少？

例1、已知：如图 ΔABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点 

（1）指出图中有几个平行四边形

（2）图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个

（3）若AB=10cm，AC=6cm,则四边形ADFE的周长为______cm

（4）若ΔABC周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是 _____cm,面积是_____cm

例2、已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形。若学生在此时一时间找不到思路，则可进行如下的启发：

启发1：由E，F分别是AB，BC的中点，你会联想到什么图形？

启发2：要使EF成为三角的中位线，应如何添加辅助线？应用三角形的中位线定理，能得到什么？你能得出EF∥GH吗？为什么？

证明：如图，连接AC。∵EF是⊿ABC的中位线，

∴EFAC（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边一半）。同理，HGAC。∴EFHG。∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

挑战：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边中点得到一个四边形，继续作下去……你能得出什么结论？

五、学生练习，巩固新知

1、请回答引例中的问题（1）

2、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC， BD的中点。求证：∠PNM=∠PMN。

3、拓展：如图，已知：在四边形ABCD中，AD、BC不平行，E、F分别是AB、CD的中点。求证：EF<（AD+BC）

分析：考虑到三角形任意两边之和大于第三边，我们可以把AD、BC或EF转到一个三角形之中，也可能与中点E、F构成相关的中位线，从而达到解题的目的。

证明：连结BD，取BD中点为O，连结OE，OF，

∵ E为DC中点，O为BD中点，∴ OE=BC。同理可证：OF=AD。 

而在△OEF中，OE+OF>EF，∴BC+AD>EF，即EF<（AD+BC）

说明：构造中位线的方法如能恰当使用，能使证题走上捷径. 

说明选题角度：

　　主要侧重两点：一、有助于训练学生思维；二、有助于学生参与

典型例题

　　例、如图，已知：在中，D、E、F分别为BC、AD和AB的中点，已知的周长为.求：的周长.

　　分析：由于D、E、F分别是三角形三边的中点，所以DE、DF、EF都是的中位线.那么根据三角形的中位线的性质，可知它们的长度分别为第三边的一半，所以的周长为的一半.

　　解答：∵D、E是BC和CA的中点，　∴DE是的中位线，

　　∴.　同理，.

　　∴

　　∴的周长为.

　　说明三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，它不同于三角形的中线，要分清楚三角形的中位线和中线的区别和联系．那么三角形的中位线定理提供了三角形中的线段的关系，解题时要注意运用这一关系．

六、小结回顾，反思提高

1、三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别。

2、三角形中位线定理及证明思路。

七、作业布置： 

已知: 如图,DE,EF是⊿ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.

如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分。

（1）在本次集体备课中，大家觉得中位线定理的证明是难点，因为其中添加辅助线的方法和思想学生不易掌握。很多老师提出不采用课本的证明方法。

教后随笔

猜想DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）

很多学生只想到位置的关系，而没想到数量的关系。