中考复习(二次函数图象中的特殊点)

 

主备人：昆阳二中周家明

 

【考试目标导引】

★目标要求

1.会用配方法或公式法确定抛物线的顶点和对称轴.

2.结合图象求抛物线与坐标轴的交点坐标.

★重点、热点

抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴、及与坐标轴的交点的坐标.

★教学难点

1.用配方法确定抛物线的顶点和对称轴；

2.a、b、c与二次函数的图象的关系.

【命题趋势分析】

例1．(1)抛物线y=x²-6x+3的顶点坐标___________.

(2)抛物线y=x²+2x-4的对称轴是直线（     ）.

A.x=-2           B.x= 2         C.x=-1             D.x=1

【特色】(1)题考查了抛物线的顶点坐标,(2)题考查了抛物线对称轴的方程；

【解答】（1）∵y=x²-6x+3=（x-3）²-6，∴ 顶点坐标为（3，-6）

       （2）∵y= x²+2x-4=(x+1) ²-5. ∴对称轴是直线x=-1,选C.

【拓展】求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴，除了利用配方法以外，还可以直接利用教材中例题所给的顶点坐标公式.

 

例2．已知二次函数 的图象如图9.5-1所示，

那么下列判断正确的是（        ）

(A)abc＞0        （B） ＞0

(C)2a+b＞0       （D） ＜0

【特色】考查了学生二次函数的图象、性质的掌握情况.

【解答】∵抛物线开口向上,与轴交于负半轴∴a>0 ,c<0;

∵抛物线对称轴0<x= <1

∴b<0,-b<2a∴abc>0;2a+b>0

∵抛物线与x轴有二个交点∴＞0；

∵抛物线的图象可知当x=-2时，y>0, ∴ .

∴ >0，故选A、B、C

【拓展】 的符号“看”抛物线与x轴交点情况；2a+b“看”对称轴直线x=的位置；而4a-2b+c是当x=2 时函数值，类似还有a+b+c,a-b+c等都可以看特殊点.

例3．已知抛物线 （m为常数）与x轴交于A、B两点，且线段AB的长为 .

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积.

【特色】此题有多种解法，体现了思维的灵活性和方法的多样性.

【解答】（1）设A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂ ,0）.

则由题意可知x₁+x₂= , x₁x₂= .

AB= ，解得m=1

       (2)m=1,抛物线，其顶点的坐标为

∴ .

【拓展】①本题还可以先由对称轴及线段AB的长求出与x轴的两交点坐标，这样解也比较简便.②抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂ ,0）两点，则x₁+x₂= , x₁x₂= .∴AB= .

∵ ，∴，即抛物线与x轴有两个交点，则两点的距离为 .

【中考动向前瞻】

二次函数图象中的一些特殊点历来是中考中容易涉及的内容.其中顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点，无论在图象性质中，还是在函数综合题中都是考查重点.

【中考佳题自测】

1.抛物线y=x²-6x+3的顶点坐标___________.

2.函数y=ax²－ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为                 

3.已知：二次函数y=ax²+bx+c与x轴相交于A(x₁,0)、B(x₁,0)两点，其顶点坐标为P，AB=，若 ，则b与c的关系式是（     ）.

A．b²-4c+1=0   B．b²-4c-1=0   C．b²-4c+4=0    D．b²-4c-4=0

 

4.如图9.5-2所示,二次函数y=x²－4x＋3的图象交

x轴于A、B两点,交y轴于C点,则△ABC的面积为  （    ）.

（A）6    （B）4    （C）3    （D）1

5.已知抛物线y=（m-1）x²+mx+m²-4的图象过原点，

且开口向上.（1）求m的值，并写出函数解析式；（2）写出函数图象的顶点坐标及对称轴.

 

【中考新题演练】

1. 抛物线y=（x+5）²+4的对称轴是（     ）

A、直线x=4     B、直线x=－4       C、直线x=－5      D、直线x=5

2. 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+8上，设点M的坐标为(a，b)，则抛物线 y=-ab +(a+b)x的顶点坐标为        

 

3. 已知抛物线y=x² +2(k+1)x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是         .

 

4. 如图9.5-3，二次函数y＝ax²+bx+c的图像满足(      )

    A.a＞0，b＞0 , b²-4ac＞0    B.a＜0，c＞0，b²-4ac＞0

C.a＞0,c>0,b²-4ac＞0        D.a<0,c<0, b²-4ac＞0

5.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图9.5-4所示，下列结论：

 

    (1)c ＜ 0，(2)b ＞ 0， (3)4a+2b+c＞0   (4)(a+c)²＜b²，

 

    其中正确的有(      )

 A.1个   B.2个    C.3个   D.4个

6. 已知二次函数y=kx²-6x-6的图像与x轴有交点,则k的取值范围

是   （      ）.

A.   B.  C.  D.

7.已知抛物线y＝ -5mx+4m²(为常数).

  (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点；

  (2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于 ？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

 

 

8.已知函数y＝ +kx-3图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于两点A，B，且AB＝4.

  (1)求实数k的值；

(2)若P为上述抛物线上的一个动点(除点C外)，求使S_△ABP=S_△ABC成立的点P的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

【参考答案】

【中考佳题自测】

1.（3，-6） (提示:y=(x-3)²-6.)

2. a=0， (- ,0) ；a=1 ，(-1,0)； a=9， ( ,0)

(提示: （3）①若a≠0时，由题意可知△=0，∴a²-10a+9=0∴a=1或a=9.

当a=1时，抛物线y=x²+2x+1,交点坐标为(-1,0)

当a=9时，抛物线y=9x²-6x+1,交点坐标为( ,0)

    ②若a=0,y=3x+1，交点坐标为(- ,0))

3.选D (提示: , , )

4.选C (提示:令y=0,x=1或x=3;AB=2)

5.(1)∵y=(m-1)x²+mx+m²-4的图象过原点，且开口向上.∴m-1>0, m²-4=0,得m=±2,

由m-1>0,得m>1.∴m=2. ∴y=x²+2x.

  (2)顶点坐标（-1，-1），对称轴x=-1.

【中考新题演练】

1.C

2.（-2，-8） (提示:由题意可知b= ,b=-a+8.得ab=-2,a+b=8.∴y=2(x+2)²-8)

3.k<-3 (提示:画图可知当x=1时，y<0.且此时抛物线一定与x轴有两个交点)

4.选A (提示:抛物线开口向上，∴a>0. ∵与y轴交于负半轴，∴c<0. ∵对称轴位于x轴左侧，∴ ,b>0.∵与抛物线有两个交点, ∴b²-4ac＞0)

5.选C

(提示: ∵二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像开口向下，∴a<0,

∵与y轴交于负半轴，∴c<0

∵对称轴位于x轴右侧，∴ ,b>0；)

6.选B (提示: ∵二次函数y=kx²-6x-6的图像与x轴有交点，∴△>0,且k≠0  )

7. (1)证明：∵，∴抛物线与x轴一定有交点.

   (2)m=2.( 提示： )

8.(1)k=±2，

（2）k=-2时P（2，-3），（1+，3）或（1-，3）；k=2时P（-2，-3），（-1+，3），（-1-，3）

( 提示：（1） ，

（2）∵ ∴

当k=-2时，x²-2x-3=-3或x²-2x-3=3，解得：x₁=0(舍去),x₂=2,x₃=1+ ,x₄=1-；）

当k=2时，x²+2x-3=-3或x²+2x-3=3，解得：x₁=0(舍去),x₂=-2,x₃=-1+ ,x₄=-1- .)

 

 

 

 

 

 

 

【教学反思】

这节课立足于二次函数在初中数学函数教学中的地位，着眼于中考方向，根据学生对二次函数的学习及掌握的情况，从梳理知识点出发，采用以习题带知识点的形式，教学重点为抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标、对称轴、及与坐标轴的交点的坐标，教学难点为用配方法确定抛物线的顶点，a、b、c与二次函数的图象的关系。

二次函数图象中的一些特殊点历来是中考中容易涉及的内容.其中顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点，无论在图象性质中，还是在函数综合题中都是考查重点.在复习设计中安排了3个训练题目，根据中考命题评价方向，加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练，另外还预想借图象识别2a与b的关系将是本节课的一个难点。

的符号“看”抛物线与x轴交点情况；2a+b“看”对称轴直线x=的位置；而4a-2b+c是当x=2 时函数值，类似还有a+b+c,a-b+c等都可以看特殊点。

例3教学可让学生充分考虑用不同方法去尝试。