▇ PISA2012将数学素养界定义“数学素养是个体在各种情境中进行数学表述、数学运用和数学阐释的能力，它包含数学推理，运用数学概念、数学步骤、 数学事实和数学工具来描述、解释和预测数学现象。它帮助个体认识数学在现实世界中所起到的作用，作出有根据的判断和决策，以成为具有建设性、参与意识和反思能力的公民。”

这一界定的核心在于积极的数学参与，在于通过数学推理和运用数学概念、数学步骤、数学事实及数学工具来描述、解释和预测数学现象。其中，三个动词“表述”“运用”和“阐释”， 指出了学生作为积极的问题解决者将经历的三个步骤。

 “表述”包括能够将具体情境中的内容转换成数学解释的方式，用数学结构加以表述，明确可变因素，作简单的假设来帮助 解决问题或满足要求

“运用”包括进行计算，列代数表达式、方程式以及其他数学模型，以数学的方式从数学图标中分析信息，进行数学描述和解释，运用数学工具来解决问题。

 “阐释”包括对数学解答进行评价，根据问 题情境进行推理，判断在该情境下相应的 数学解答是否合理，是否讲得通。

 下图是PISA2012对数学素养的界定模型。

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•最外层的框表明，数学素养发生在真实世界中遇到的问题情境中。

 问题情境分为四个类别：

 一是个人性的，包括个人、家庭以及同龄人可能会遇到的问题或挑战；

 二是社会性的，聚焦于个体所生活的社会环境，包括当地社区、本国乃至全球的问 题或挑战；

三是职业性的，主要聚焦于工作世界的问题或挑战；

 四是科学性的，主要是与数学运用相关的自然世界、科技世界的问题或挑战。

 各种问题情境中所隐含的数学内容本身也 可以分为四个不同的类别：一是数量，二是不确定性和数据，三是变化和关系，四是空间和形状。

 •要解决情境中的数学问题，个体必须运用数学思想和方法。

 在解决问题的过程中，个体需要运用各类 数学概念、知识和技能。框架中将这些数 学行为归纳为7项基本的数学能力——交流；表述；设计策略；数学化；推理和论 证；运用抽象、正式、技术性的数学语言 并运算；运用数学工具。

 • 最里层的框构建了一个问题解决的数学 过程模型，它对问题解决者表现数学素养 的不同阶段作了理想化的描绘。

 该模型起自“问题情境”，问题解决者努力 明确该问题情境中相关的数学内容，根据 数学概念和包含的数学关系进行简单的假 设，加以数学表述。

 随后是“数学问题”阶段，问题解决者运用 数学概念、数学步骤、数学事实和数学工具去获得“数学结果”，通常包含数学推理、列式、转换和计算等工作。

 接下来，需要根据原始问题（“情境结果”）对“数学结果”加以阐释，问题解决者需阐释、运用、评价数学结果及其在基于真实世界的问题情境中的合理性。

 这里，数学表述、数学运用和数学阐释的过程是问题解决的数学过程模型的主要组成部分，也是数学素养的主要组成部分。

 本文由《上海教育-环球教育时讯》翻译 供稿

 上海学生的数学学习主要特征 PISA测试，除了学业成就，还对学生学 习的机会、学习者自身的特征、学校均衡 与教育公平，以及包括师生关系在内的学 校因素的作用，进行了较为全面的调查和 考量，试图据此解读取得成就的“秘密”。

 从本次测评有关学习特征所得资料看，至 少可有如下一些角度可供研讨。

 第一，重视具有内在逻辑主干的正式数学 的学习，讲求渐进的顺序、内容的重点和 有台阶的攀登。所谓正式数学，主要指概 念、法则、定理演绎体系的数学。

 本次测试，专列“学习的机会”一项，将机 会区分为接触应用数学的机会、接触正式 数学的机会等类别。从学习者接触正式数 学与应用数学的机会看，上海学生接触正 式数学的机会最高，且差异很小。

 数据还显示，学生接触应用数学的频率与 数学成绩呈负相关；相反，接触正式数学 越多，成绩越高，这是一个值得探讨的话 题。正式数学教与学的特点在于学科内在 逻辑主干清晰，利于把握重点循序渐进， 从而引导有计划的攀登。

 有意思的是，PISA测试成绩最高的几个 东亚国家大多集中在高正式、低应用象 限，新加坡值得注意，测试成绩高，但处 在高正式、高应用象限。

 很多发达国家分布在双高象限，如俄罗 斯、美国等；测试成绩排位在前，但处于 高应用的国家，如荷兰、加拿大、德国、 澳大利亚、新西兰、法国等，这些国家 （地区）的经验，我们必须认真学习与借 鉴。

 第二，重视从所犯的错误中学习，讲求练 习的精细安排、注重变式与化归以及针对 性的纠错指导。据数据统计，上海的学生 校内每周上课时间平均28.2小时，位列65 个国家（地区）第9，而课外作业时间每 周平均13.8小时，位列第一，57.3%的学 生作业（各门学科）超过11小时，其中 数学的作业是大头。

 教师的时间、精力有很大部分放在讲解数 学问题、批改指导练习与作业上。

 本次测试调查“数学老师帮助我们从所犯 错误中学习”时，学生回答“总是或几乎总 是”和“经常”的百分比，上海为74.2%，比 OECD的均值60.2%高出14个百分点，有 明显正差距。

 这种从错误中学习，对低端学生来说，及 时的、针对性的纠错练习与指导，对掌握 基础知识、基本技能成效显著。对中等以 上甚至高端学生，有梯度的变式、探索性 问题的化归，通过精细的分层次安排，十 分有利于学生锤炼出好的数学学习方式。

 第三，重视激发学生学习数学的内部动 机，讲求坚持性、学习兴趣和解决问题的 自信力。学习动机分外部的激励和内部的 自驱两大类。

 上海学生的外部动机水平与OECD平均水 平相当，而学习数学的坚持性和学习兴趣 显著优于OECD平均值，而解决数学常见 问题的自信水平达到了本次测评的最高 值。

 我国的课堂，纪律好，极少有吵闹和捣 乱，数学课的纪律风气指数高，对学生认 知的激发比较好，学生学习数学很勤勉、 善坚持。上海学生的数学自我效能感比 OECD平均值高出一个标准差，但对自己 能力的评价并不高，较多学生有焦虑，女 生更甚。

 ▇ 存在问题与后续讨论 成绩导致自信，问题使人清醒，而成熟是 看透了两面之后的重新开始。让我们不妨 找一找这次测评中有哪些真实的差距。

 第一，上海学生的课业负担尽管正在着力 减轻，轻负高质初见成效，但总体上还是 偏重，尤其是课内练习密度高、课外作业 时间长，使学生自由学习的时间与其他方 面的成长空间相对匮乏。

 第二，从数学教学的角度看，我们特别关 注知识、技能等正式数学，却对应用数学 的重视不足，与不少西方发达国家有较大 差别。

 我们较多关注练习纠错，少了思考和发现 的过程，如回答下列事件是否经常发生 时，“老师布置需要我们花很长时间思考 的问题”，上海占比31.1%，OECD均值 53.3%；“老师会让我们做一些不能立即发 现明确解题方法的题目”，上海占比 31.7%，OECD均值41.6%，有明显负差 距。

 第三，从数学过程分量精熟度水平看，尽 管表述、运用、阐释都位居第一，但长于 表述、运用得到结果，至于对结果的实际 解释、评价与预测相对要差一些，这也值 得注意。

 我国的数学教育源远流长。西方有《几何 原本》为代表的欧几里得公理推演体系， 我们有《九章算术》实用问题分类归纳的 算法走向。

 这两种思维各具特色，一直发展到当代公 理化与算法化的两大分野，它们之间的融 会，也许能为数学教育新体系的建立提供 思路。

 新中国成立之初，老一辈教改先驱基于国 际眼光，提出支配数学教育目标、材料和 方法的三大原则：

 实用性原则、论理（推理）的原则、站在 学生立场的心理的原则，而且提出三大原 则必须统一，心理性和实用性应该是论理 性的向导；选择教材不应该先将实用性 （今称应用数学）和论理性（今称正式数 学）分别采取、然后合拢，数学的真理性 具有向实在进展和内部逻辑结构的两面， 两面不会分道扬镳、各自存在。

 20世纪80年代以来，一方面是事实上中 国学生的数学表现明显优于西方学生，另 一方面西方研究者认为中国学生的学习环 境（如应试压力）不太可能产生好的学习 成绩，如此巨大的反差，在世纪之交竟 以“悖论”的形式呈现了一个国际关注的热 点：华人如何学习数学。

 上述看似矛盾的结果引出了深入的讨论。 中国学生为什么数学那么好？有人认为是 由于有好的课程逻辑，有人认为是由于教 师的有效教学（三级教研系统注重教学行 为中扎扎实实的反思），也有人认为是华 人家庭、社会特有的习惯与文化支撑。个 中原因，毫无疑问足以摆到必须深究的议 事日程上来。

 文/顾泠沅 华东师范大学博士生顾非石协 助整理 本文摘自12月4日出版的中国教育报