《金融数学》期末考试题

（每题分值相等。考试时间：2小时）

1、下述三款理财产品：A的投资期限是30天，年化收益率为5%；B的投资期限是60天，年化收益率为5.1%；C的投资期限是90天，年化收益率为5.15%，一年按365天计算。如果投资者有100万需要投资180天，可以获得的最大收益率是多少（用利息力表示）？

2、假设时间t的利息力为t/10，计算每年末支付1元的20年期期末付年金的现值。

3、投资者在一个基金的账户如下，计算投资者在2020年的收益率是多少？

4、已知年利率为6%，20年期的期末付递增年金的现值为20万元。如果将该年金的付款顺序前后颠倒（即变为递减年金），且第一次付款发生在第一年年初，计算这个20年期的期初付递减年金的现值是多少？

5、已知一项年金的马考勒久期是8.7，年有效利率为5%。（1）计算该年金的修正久期；（2）计算每年复利4次的年名义利率以及与该名义利率对应的修正久期。

6、假设10年期附息债券的面值和到期偿还值为100元，每年支付一次利息，息票率为r，到期收益率为5%。如果前述的其他条件保持不变，当息票率上升时，债券的价格和利率风险会如何变化？

7、假设股票没有分红，现价为50元，年有效利率为6%，计算该股票10个月期限的远期合约的价格是多少？假设远期合约签订一个月以后，股票的市场价格变为51元，计算该远合约多头的价值为多少？

8、已知股票的现价为100元，三个月期限的执行价格为100元的欧式看涨期权的价格为7元，利息力为5%，计算三个月期限的执行价格为100元的欧式看跌期权的价格是多少？

9、假设股票的现价为70元，没有分红。利息力为6%。该股票6个月期限的远期交割价格为72元。请判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，如何进行套利？

10、已知时间t 的利息力为t，时间零点投资100万在第5年末的累积值是多少？从第3年末到第5年末的年收益率为多少？

参考答案

Q1.

投资C，最大收益率（利息力，连续复利）为5.118%

Q2.

现值3.463

Q3.

币值加权收益率：4.01%

时间加权收益率：4.54%

Q4. 

现值为305364.7

Q5.

(1)修正久期8.2857

(2)年名义利率4.9

修正久期8.59

Q6.

当息票率r上升时，马考勒久期D增大，利率风险上升。

Q7.

远期合约的交割价格应该为52.488

1个月以后，该远期合约多头的价值为0.7566：

Q8.

欧式看跌期权的价格为5.758

Q9.

远期的交割价格偏低，存在套利机会。

套利方法：买入远期，卖出现货。

当前：卖空股票（借入股票，然后卖出），获得70元现金，现金按6%的利息力投资；同时签订一份远期合约多头（即买入股票的远期合约）。

6个月后：现金增长到72.132元；执行远期合约，买入股票，按交割价格支付72元。将买入的股票用于归还期初借入的股票；剩余0.132元现金利润。

Q10.

从第3年末到第5年末的年收益率为5359.8%