《金融数学》试题

（每题10分，考试时间为2小时）

【1】投资者在t = 0时向基金投入1000万元，该基金在t 时刻的利息力为 0.1*(t-1)^2，求该笔投资在t = 1时的累积值以及在整个投资期间的收益率。

【2】一笔贷款的日利率为万分之一，计算该笔贷款的年有效利率和年名义利率。

【3】基金在年初的余额为20000万元。在每季度末有新增投资1000万元。在新增投资发生之后的基金余额分别为23000万元，24800万元，25000万元及25100万元。 计算该基金全年的币值加权收益率和时间加权收益率。

【4】借款人从银行获得一笔贷款，期限为4年，年利率为8%。借款人用偿债基金方法偿还，每年末支付的总金额（包括当期的利息和向偿债基金的储蓄两部分）依次为2000元，3000元，4000元，5000元，偿债基金的年利率为7%。计算贷款本金。

【5】投资者购买了一个面值为1000元的10年期债券，年息票率为8%，每半年末支付一次利息。如果债券到期时按面值偿还，则每半年复利一次的到期收益率为7%。如果债券在第5年末赎回，为了保证到期收益率不变，赎回价格应为多少？

【6】投资者按当前的利率8%获得了一笔50万元的贷款，期限为4年。为了防范利率风险，投资者计划购买价值50万元的债券实施免疫策略，可供投资者选择的债券只有A和B两种。债券A的面值为1000元，期限为2年，年息票率为7%。债券B的面值为1000元，期限为5年，年息票率为9%。两种债券的到期收益率均为8%。 投资者应该如何选择上述两种债券？

【7】银行在一个2年期的利率互换合约中，支付浮动利率，收取固定利率，每半年支付一次利息，名义本金为1000万元。已知6个月、12个月和18个月和24个月期的即期利率（连续复利）分别为6%、6.5%和7%和7.5%。计算银行在该互换合约中收到的固定利率（连续复利）是多少？

【8】假设3个月和6个月的 LIBOR 分别为4% 和4.1% ，均为连续复利。远期合约的名义本金为100万美元，从3个月末到6个月末的交割利率为4.2%（连续复利）。计算该远期合约多头的价值。

【9】股票现价为60，一份2个月到期的该股票美式看涨期权的交割价格为60，连续复利为5%，股票无红利支付，波动率为30%，应用两阶段二叉树模型计算该期权的价值。

【10】假设年利率为5%， 求期末付永续年金的久期和凸度。

参考答案：

【1】      累积值为1033.9，收益率为3.39%

【2】       年利率为3.72%，年名义利率为3.65%

【3】       币值加权收益率为5.12%，时间加权收益率为6.19%

【4】       本金为11190元

【5】       赎回价格为1047元

【6】       11.1%投资于A，88.9%投资于B；5.55万元投资于A，44.45万元投资于B

【7】       固定利率7.45%

【8】       远期合约多头的价值为0

【9】       期权价值为2.84

【10】   修正久期20；凸度800；马考勒久期21；马考勒凸度861