《金融数学》试题

（共10题，每题10分。考试时间为2小时）

1. 假设累积函数为a(t) = t² + kt + 1，且a(2) = 11，请计算：（1）t = 10时的利息力；（2）下述年金的现值：从第一年末开始，每年末支付400，一共支付5次。

2. 银行公布的定期存款利率如下：一年期3%，二年期3.75%，三年期4.25%。市场上某3年期债券的面值为100元，年息票率为3.5%，每年末支付一次利息。某投资者有100万元需要投资3年。如果投资者购买债券，他每年末获得的息票收入只能存入银行。请问投资者采取何种投资方式赚取的到期收益率最大？最大到期收益率是多少？

3. 一项永续年金每月末支付一次，支付金额每年增长5%。假设第一年每月末的支付金额为1000元，每年复利12次的年利率为12%。请计算该项永续年金的现值。

4. 基金经理人A管理的基金在2012年每季度末的累积值分别为1200万元、2450万元、3000万元和1600万元，该基金在每季度末的新增投资分别为500万元、200万元、−700万元和800万元。基金经理人B管理的基金在2012年每季度末的累积值分别为1100万元、2200万元、2500万元和2100万元，该基金在每季度末的新增投资分别为400万元、−300万元、500万元和200万元。假设两个基金在2012年初的本金相等，均为900万元，请问哪位基金经理人在2012年的经营业绩较好，为什么？

5. 某债券的面值为100元，期限为5年，年息票率为5%，2011年6月1日发行，到期按面值偿还，到期收益率为6%。请计算该债券在2011年12月31日的账面值。

6. A borrows $20,000 from B and agrees to repay it with equal quarterly installment of principle and interest at 8%, convertible quarterly over five years. At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price, which produces a yield rate of 10% convertible quarterly for C. Find the total amount of interest received by B.

7. Suppose that the three-month LIBOR rate is 6% and six-month LIBOR rate is 6.5% with continuous compounding. Consider an FRA (forward rate agreement) where we will receive a rate of 8%, measured with quarterly compounding, on a principal of 1 million between the end of month 3 and the end of month 6. Calculate the value of the FRA.

8. 以105元做空A公司的股票，并卖出一个执行价格为105元的1年期的看跌期权，该期权的期权费为7.20元，实际年利率是5%。假设一年后股票的价格为120元，请计算此仓位的回收和盈亏。

9. 某债券的当前价格为95元，修正久期为7.5，连续复利的到期收益率为6%。请计算：（1）债券的马考勒久期；（2）当连续复利的到期收益率下降到5.5%时，债券的价格会如何变化。

10. 某人从银行获得一笔贷款，年实际利率为8%。借款人用偿债基金方法偿还贷款，每年末支付的总金额（包括支付当期利息和向偿债基金的储蓄）依次为2000元，3000元，4000元，5000元，6000元，7000元，8000元，偿债基金的年实际利率为7%。请计算贷款本金为多少？

参考答案

#######R程序##

########### 1
a=function(t) t^2+3*t+1                      #累积函数
d=function(t) (2*t+3)/(t^2+3*t+1)            #利息力
d(10)  #0.1756  t=10时的利息力
a5=400*(1/a(1)+1/a(2)+1/a(3)+1/a(4)+1/a(5))  #年金现值
a5     #160.97

################2

v1=100*(1+4.25/100)^3                                                  #定期存款的累积值
v2=100*3.5/100*((1+3.75/100)^2)+100*3.5/100*(1+3/100)+100*3.5/100+100  #债券的累积值
v1-v2                               #定期存款的到累积值较大
(v2/100)^(1/3)-1                    #投资债券的到期收益率为3.5%
((1+4.25/100)^3)^(1/3)-1            #银行存款的到期收益率最大，为4.25%,银行利率按单利算的也得分

############3
i12=12/100/12       #月实际利率
i=(1+i12)^12-1      #年实际利率
r=5/100             #年金增长率
s12=((1+i12)^12-1)/i12  #每月支付一次的1年期年金的终值因子
p1=1000*s12                 #第一年的付款在年末的终值，以后每年递增5%
j=(i-r)/(1+r)               #计算复递增年金的利率
pv=p1*1/(1+r)*(1/j)         #永续年金的现值
pv
# [1] 165083

##########4
A=(1200/900)*(2450/(1200+500))*(3000/(2450+200))*(1600/(3000-700))-1  #A的时间加权收益率
B=(1100/900)*(2200/(1100+400))*(2500/(2200-300))*(2100/(2500+500))-1  #B的时间加权收益率
A;B
# A=0.5132944
# B=0.6510721

#########5
F=100;n=5;r=5/100;C=100;i=6/100
v=(1+i)^(-1)
an=(1-v^n)/i
t=7/12
p0=r*F*an+C*v^n
BV1=p0*(1+i)^(t)-r*F/i*((1+i)^t-1)  #精确方法计算的账面值
BV2=p0*(1+i)^(t)-r*F*t              #半理论方法计算的账面值
BV3=p0*(1+t*i)-r*F*t                #实践方法计算的账面值
BV1;BV2;BV3
# [1] 96.21824
# [1] 96.18278
# [1] 96.22354

############6
L0=20000
i4=8/100/4;n=5*4
v4=(1+i4)^(-1)
an=(1-v4^n)/i4
R=L0/an; R              #A每次的付款额
i4c=10/100/4
v4c=(1+i4c)^(-1)
nc=(5-2)*4
pc=R*(1-v4c^nc)/i4c     #C的买价，等于B的卖价
R*2*4+pc-L0             #B的利息
# [1] 2331.699

################7
L=1000000
r1=6/100;r2=6.5/100;i=8/100
r=(r2*6/12-r1*3/12)/(6/12-3/12);r
r4=4*((exp(r))^(1/4)-1);r4     #复利4词的年名义利率
v=L*(i/4-r4/4)*exp(-0.5*r2);v  #远期的价值
# [1] 2270.959                  算出多头价值或空头价值都得分

###############8
# 收入及其利息为（105+7.20）*1.05=117.81。
# 回收=0-120=-120
# 盈亏=-120+117.81=-2.19

#################9
P=95;D=7.5;d0=6/100;d1=5.5/100
MacD=D*exp(d0);MacD      #马考勒久期
# [1] 7.963774
dy=exp(d1)-exp(d0)       #名义收益率的变化
dP=-dy*D                 #债券价格变化的百分比
P1=P*(1+dP);P1           #新价格
# [1] 98.77335

###############10
i=0.08;j=0.07
D=seq(2000,8000,1000);D       #向偿债基金的储蓄额
a=(1+j)^((length(D)-1):0);a   #累积因子
f=function(L) L-sum((D-L*i)*a)
uniroot(f,c(0,50000))$root
# [1] 24189.8