2009《金融数学》试题

（共10题，每题10分。考试时间为2小时。）

1. 某投资者在时刻零投资X元，按照以下利息力计息:如果0≤t≤3,则δ(t)=0.02t；如果t>3，则δ(t)=0.045。求前4年每季度复利一次的年名义利率。

2. 某投资者需要在第10年末筹集到40000元，因此他现在投资X元，在1年末投资X－500元，在第2年末投资X－1000元，直到第9年末投资X－4500元，假设年实际利率为6％，试计算X的值。

3. 2008年1月1日，某投资者向基金投入20万元，第二笔投资发生在2008年7月1日，直至2009年1月1日，基金的账面余额为40万元。已知该基金在过去一年的时间加权收益率为10%，币值加权收益率为9%，求投资者在2008年前六个月获得的年实际收益率。

4. 一笔10万元的贷款将以每月复利一次的年名义利率12%计息，在6个月内的每月末分期偿还。前三次每次支付X，后三次每次支付3X。试求第三次支付的本金金额与第五次支付的利息金额。δδ

5. 一个卖空的投资者以每股10的价钱出售500股股票。一年后，每股的价钱降到7.50，此时该投资者补进500股该股票。假设交易保证金为50%，保证金的利率为5%。该股票在每季度每股分红0.1。请计算该投资者卖空的收益率。

6. X公司股票的现货价格是105元，连续复利的无风险利率是6%，股票的年度股利收益率为零。假定你观察到6个月的远期价格是115元。针对这种情况，你将如何进行套利？

7. 债券的期限是2年，面值为1000，每半年支付50元息票收入，到期按面值偿还。假设当前的年实际利率为6%，请应用久期和凸度近似计算当年实际利率上升到7%时，债券的价格将如何变化？

8. 某人将1000投资3年。在第一年，每季度复利一次的年名义贴现率为8%。在第二年，利息力为8%。在第三年，贴现力为5%。请计算该投资者在第三年末可以获得的价值。

9. 一项永续年金在每年年末支付1，年实际收益率为10%，试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。

10. An insurer must pay 3000 and 4000 at the ends of years 1 and 2, respectively. The only investments available to the insurer are one-year zero-coupon bond (with a par value of 1000 and an effective annual yield of 5%), and a two-year 8% annual coupon bond (with a par value of 1000 and an effective annual yield of 6%). Determine the numbers of the two bonds that are needed to match the liabilities of the insurer.