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多元统计分析(一) 马氏距离
(2010-02-02 15:54:09)
标签：
杂谈 |
分类： 数学理论 |
当提到距离的时候，一般都会想到欧氏距离，更远一些还会想到范数，其实还有一种看不见的重要距离，那就是马氏距离。它由印度数学家马哈拉诺比斯(Mahalanobis)首先提出，所以又称为Mahalanobis Distance,是一种采样协方差来计算两点之间距离的方法。马氏距离功能强大,甚至连欧氏距离都是马氏距离的特殊情形。在了解马氏距离之前,不妨先观察下图：有两个正态分布的总体，它们的均值分别为a和b，但是方差不一样，则图中的A点离哪个总体近呢？显然，A离左边的更近，A属于左边总体的概率更大，尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观意义了。
http://s4/middle/7420820c49cb80f81c693&690
马氏距离的定义如下：
定义1：设X，Y是从均值向量为μ,协方差阵为∑的总体G中抽取的两个样品，定义X，Y两点之间的马氏距离为：
定义2：X与总体G的马氏距离为：
根据马氏距离的定义，可以得到它的几个特点如下：
p 两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
p 标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。
p 可以排除变量之间的相关性的干扰。
p 满足距离的四个基本公理：非负性、自反性、对称性和三角不等式。
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