知识领域

知识点

应用举例

应用拓展

数与代数

数的表示

阿拉伯数字：0～9

百分号：％

千分号：‰

数的运算

+、－、×、÷、(  ) ﹝﹞﹛﹜（平方）²（立方）³

数的大小关系

＝、≈、>、<</P>

≥、≤、≠

运算定律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

方程

ax+b=c    ax bx=c

数量关系

时间、速度和路程：s=vt

正比例关系：

反比例关系：xy=k（一定）

空间与图形

用字母表示计量单位

长度单位：km、m、dm、cm、mm

面积单位：km²、hm²、m²、dm²、cm²

质量单位：t、kg、g

用符号表示图形

用字母表示点：三角形ABC

用符号表示角：

∠1、∠2、∠3、∠4

△ABC

线段AB

直线CD

直线 L

用字母表示公式

三角形面积：

平行四边形面积：S＝ah

梯形面积:

圆周长：C＝2πr

圆面积：

长方体体积：v=abc

正方体体积：

圆柱体积：v=sh

圆锥体积：

知识领域

知识点

应用举例

数与代数

数的意义

整数的意义：用实物操作和直观图帮助理解

小数的意义：用直观图帮助理解

分数的意义：用直观图帮助理解

负数的意义：用数轴等直观图帮助理解

四则运算的意义

乘法的意义：若干个相同加数相加的一种简便算法。

除法的意义：乘法的逆运算。

四则运算的法则

整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法。

小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算。

小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点。

小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数除法的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。

分数加减法：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法。

分数除法：转化为分数乘法。

四则运算各部分间的关系

a + b = c, c －a = b

ab=c, a=c÷b

简便计算

利用运算定律进行简便计算

方程

解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）。

解决问题的策略

化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等。

化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系、帮助推理。

化实际问题为数学问题：

化一般问题为特殊问题：

化未知问题为已知问题：

空间与图形

三角形内角和

通过操作把三个内角转化为平角

多边形的内角和

转化为三角形求内角和

面积公式

正方形的面积：转化为长方形求面积

平行四边形面积：转化为长方形求面积

三角形的面积：转化为平行四边形求面积

梯形的面积：转化为平行四边形求面积

圆的面积：转化为长方形求面积

组合图形的面积：转化为求基本图形的面积

体积公式

正方体的体积：转化为长方体求体积

圆柱的体积：转化为长方体求体积

圆锥体积：转化为圆柱求体积

统计与概率

统计图和统计表

运用不同的统计图表描述各种数据

可能性

运用不同的方式表示可能性的大小

知识领域

知识点

应用举例

数与代数

数的表示

自然数列：0,1,2,…

用数轴表示数

数的运算

a+b=c

c－a =b, c－b＝a

a×b＝c(a≠0,b≠0)

c÷a=b, c÷b＝a

运算定律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

方程

ax+b=c

数量关系

时间、速度和路程：s=vt

数量、单价和总价：a=np

正比例关系：y/x=k

反比例关系：xy=k

用表格表示数量间的关系

用图象表示数量间的关系

空间与图形

用字母表示公式

三角形面积：

平行四边形面积：S＝ah

梯形面积：

圆周长：C＝2πr

圆面积：S＝πr²

长方体体积：v=abc

正方体体积：v=a³

圆柱体积：v=sh

圆锥体积  

思想方法

知识点

应用举例

不完全归纳法

找规律

找数列和图形的规律

整数计算

四则计算法则的总结

运算定律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

除法

商不变的规律

分数

分数的基本性质

面积

长方形面积公式的推导

体积

长方体体积公式的推导

圆柱体积公式的推导

圆锥体积公式的推导

完全归纳法

三角形

三角形内角和的推导

类比推理

整数读写法

亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比

整数的运算

四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比

小数的运算

整数的运算法则、顺序和定律推广到小数

分数的运算

整数的运算顺序和运算定律推广到分数

除法、分数和比

除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比

面积

与平行四边形面积公式的推导方法相类比，三角形、梯形面积公式的推导，也用转化的方法，把它们转化成平行四边形推导面积公式。

长度、面积、体积

线、面、体之间的类比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占的空间有大小，用体积单位来计量

问题解决

数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比

思想方法

知识点

应用举例

方程思想

求加减乘除中的（   ）

3+（   ）=5

方程的意义

建立未知量与已知量间相等的关系

解决问题

用方程解决实际问题

函数思想

加法

一个加数不变，和随着另一个加数的变化而变化，可表示为

y＝χ＋b的形式，渗透一次函数的思想

积的变化规律

一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化，可表示为

y＝kχ，渗透正比例函数思想

商的变化规律

除数不变，商随着被除数的变化而变化，可表示为，渗透正比例函数思想；被除数不变，商随着除数的变化而变化，可表示为 ，渗透反比例函数思想

正比例关系

正比例关系改写成y＝kχ，就是正比例函数

反比例关系

反比例关系改写成 ，就是反比例函数

空间与图形

长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式，长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式，圆的周长和面积公式等都渗透了函数的思想

统计图表

函数的列表法与统计表有相似之处

思想方法

知识点

应用举例

轴对称

画简单的轴对称图形

认识轴对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形

平移变换

认识平移，把简单图形平移

判断生活中物体的运动哪些是平移现象

画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形

旋转变换

感知旋转现象

判断生活中物体的运动哪些是旋转现象

把简单图形旋转90°

画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转90°后的图形

几何变换

图形的性质、面积的计算

平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想

图案的欣赏和设计

判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；

利用平移、旋转和轴对称等变换，设计美丽的图案

相似变换

把简单图形放大或缩小

画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形

思想方法

知识点

应用举例

分类集合思想

分类

一年级上册物体的分类，

数的认识

数可以分为正数、０、负数

有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）

整数的性质

整数可以分为奇数和偶数

正整数可以分为1、素数和合数

公因数和公倍数

图形的认识

平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形…

三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

三角形按边可以分为；不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形

四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形

统计

数据的分类整理和描述

排列组合

分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础

概率

排列组合是概率计算的基础

植树问题

先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽

思想方法

知识点

应用举例

数形结合的思想

数的认识

利用计数器、小棒、几何图形、方格图等建立数学表象。

数学运算

应用几何直观图形理解算理，掌握方法。

数量关系

借助线段图，示意图，实际情景图抽象数量关系。

量的计量

借助实物，操作，直观图认识计量单位，理解数量关系。

探索规律

借助点、线、面、体、探索数、式、数量关系、图形排列的规律。

正比例图形

利用方格图认识正比例图像的特点。

图形的认识和测量

借助几何直观、操作、演示，在图形的运动和变换中掌握图形的特征。

公式的推导

利用图形的变换和运动推导公式。

确定位置

利用方格图、情境图、示意图确定物体的位置。

统计

应用图表收集、整理、分析、预测。

思想方法

知识点

应用举例

极限思想

数的认识

数的个数是无限的。

圆周率是无限不循环小数

一个数的倍数是无限的。一个数公有的倍数是无限的。

数的运算

……=1

图形与几何

直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性。

圆的面积推导，把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形,可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积。

圆柱的体积与圆的面积的推导类似。

数学思想

知识点

应用举例

对应思想

数的认识

数与物体的一一对应，数轴上的点和数的一一对应。。

数的运算

计数单位的一一对应。

图与式子的对应。

数量关系

数量与数量之间的对应。

量与计量

计量单位之间关系的对应。

计量单位个数与其实际大小的对应。

图形与几何

用数对确定位置时，数对与点的对应。

图形的测量中长度单位，面积单位，体积单位的个数与其实际大小的对应。

统计与概率

统计图

根据统计的物品找到相应的数据，根据“数据”找到统计图中“对应的点”去画图，以及解决相应的问题。