一、差分数列的定义

 

http://s16/middle/73e2747bt9b9cdb19705f&690

二、差分数列的运算

 

⒈k阶差分数列的表示

 

http://s9/middle/73e2747bt9b9cfe440748&690

⒉差分数列的运算性质

 

满足分配率

 

http://s6/middle/73e2747bt9b9d1b3a1c85&690

三、差分数列的应用

 

凡是n的指数型与含n的常数次多项式相加或相乘的通项公式都可以用差分数列去求

 

例1：

 

http://s5/middle/73e2747bt9b9e2f46ebd4&690

http://s8/middle/73e2747bt9b9e30c10e27&690

http://s10/middle/73e2747bt9b9e328ab8e9&690

 

例2:

 

http://s4/middle/73e2747bt9b9d9b0bdb33&690

http://s3/middle/73e2747bt9b9d9bf73ed2&690

http://s1/middle/73e2747bt9b9d9c437d80&690

§一般形式：差分数列应用于数列求和（数列通项为只含n的多项式）

 

由例1可知，对于任意一个通项为只含n的k次m项式（其中m为小于等于k+1的正整数）

 

它的求和通项公式一定是只含n的k+1次多项式

 

不妨设

http://s16/middle/73e2747bt9bab4ee04a2f&690

 

可见，若数列的通项为含n的j次多项式，那么这个数列的j+1阶差分数列一定是0

 

而j+1阶差分数列可以形成j+1阶线性常系数齐次递推关系

 

其特征方程都是http://s10/middle/73e2747bt9bab5bd7b7e9&690

特征根都是http://s2/middle/73e2747bt9bab5fa72661&690

 

所以，对于任意一个数列，只需知道数列通项的n的最高次数，和数列的前几项，便可待定出数列的求和通项

 

设数列的通项http://s7/middle/73e2747bt9bab6c804fe6&690的 n 的最高次数为k

 

那么求和通项http://s2/middle/73e2747bt9bab6d6d9901&690的 n 的最高次数为k+1

 

所以数列http://s13/middle/73e2747bt9bab8a2bc1dc&690的k+2阶差分数列为0

 

即http://s7/middle/73e2747bt9bab765c8f96&690

得到k+2阶线性常系数齐次递推关系后，特征方程便可表示为

 

http://s3/middle/73e2747bt9bab7e5db512&690

 

之后便可设

 

http://s8/middle/73e2747bt9bab85252667&690

 

系数由数列http://s13/middle/73e2747bt9bab8a2bc1dc&690的前k+2项待定


§一般形式：差分数列应用于数列求和（多项式与等比复合型）

 

http://s16/middle/73e2747bt9badaa3e36bf&690

http://s9/middle/73e2747bt9badae11bb38&690

http://s5/middle/73e2747bt75f7c52ad814&690

这样一共减m+2次后，可得到m+2阶线性常系数齐次递推关系

 

具体的系数为

 

http://s13/middle/73e2747bt9badb97be14c&690


http://s1/middle/73e2747bt9badc2e56ad0&690

 

特别注意的是

 

http://s13/middle/73e2747bt9badcdd0202c&690

 

http://s8/middle/73e2747bt9bae0e8ee027&690

 

解求和通项依旧用待定系数法

用此法秒杀任一多项式等比复合型求和

 

例

 

http://s5/middle/73e2747bt9bbca6f90ac4&690