利用轴对称求最短距离问题（此文发表于中学数学月刊2015年第3期）

    前不久笔者参加长三角网络结对学校的一次公开教学研讨活动，这次活动的主题是“如何进行初中几何专题教学，我在这次活动中开设一节公开课。本次授课班级是苏州市阳山实验初级中学校八（4）班，本班学生的学习习惯和学习基础良好，学生对数学的兴趣较为浓厚，课堂中有许多精彩的生成，同时也较好地体现了2011版数学课程标准中提出的数学教学要注重“四基”、“四能”的精神^【1】.以下是这节课的教学设计及反思.

1    教学内容及内容解析

1.1   教学内容

轴对称结合两点之间线段最短并求最短距离问题

1.2   内容解析

本节内容属于“图形与几何”领域，是在学生学习了“两点之间线段最短“、“轴对称”、“勾股定理”等内容的基础上的综合与提升.最短距离问题主要包括两个问题，一是“两点之间线段最短”；二是“过直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短”.本节课探究的是第一个问题，核心内容是把两点在直线同侧的问题转化为两点在直线异侧的问题来解决.

本节课是综合提升课，要求学生熟练掌握两点之间线段最短，轴对称、勾股定理等内容.因此，在课前应适当复习上述内容.另外要通过两点在直线同侧转化为两点在直线异侧的过程，让学生体会到“转化”是解决数学问题的重要思想方法.

让学生通过本节课的学习，经历研究和解决数学问题的过程，提升自身分析问题和解决问题的能力，形成良好的解题技能.

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：用转化的思想处理两点在一条直线同侧的最短距离并求最短距离问题.

2    教学目标及目标解析

2.1   教学目标

2.1.1了解两点之间线段最短这一基本事实，会用勾股定理求两点之间的距离；

2.1.2运用轴对称的性质，将两点在某条直线同侧的问题转化为异侧的问题，并运用目标1的方法求出最短距离；

2.1.3经历解决两点在直线同侧问题，体会“转化”是研究数学问题的重要思想方法.

2.2 目标解析

达成目标1的标志是学生能结合具体实例连结两点构造直角三角形，运用勾股定理求出两点之间的距离.

达成目标2的标志是，能够把求某直线上一点到该直线同侧两点连线之和最短的问题，通过作一个点关于这条直线的对称点转化为两点之间线段最短问题，并能求出这个距离.

达成目标3的标志是，在老师的引导下，通过点在直线同侧转化为点在直线异侧的研究过程，体会“转化”是研究数学的重要方法.

2.3   教学问题及诊断分析

两点在直线同侧问题的解决较为抽象，而且要综合运用点的轴对称性、两点之间线段最短、勾股定理等知识.因此，学生初次解决类似问题肯定有较大难度.另外，把两条线段之和通过转化变成一条新的线段，蕴含在其中的数学知识是几条结论的复合，因此学生在这个问题上肯定存在难以透彻理解的现象.

基于以上分析，本节课的教学难点是：理解把两点在直线同侧的问题转化为异侧问题中所蕴含的数学知识.

2.4   教学支持条件

根据本节课的教学内容特点，为了突出重点、突破难点、提高课堂效率，采用以观察分析、合作交流为主，老师适当点拨为辅的教学组织形式.

3    教学过程设计

3.1   提出问题

 

故事引入：在公元1世纪的古希腊,有一位大将军，他每天都要骑着马从军营A出发，先到小河l边饮马，然后再去B军营处理事务（如图1）.这位大将军一直在思考一个问题：自己要到小河l 的哪个位置饮马，才能使马儿跑的路程最短？他百思不得其解，就带着这个疑问向亚历山大城一位非常著名的数学家——海伦请教.这就是数学中著名的“将军饮马问题“.同学们你知道大数学家海伦是如何帮助将军解决这个问题的吗？本节课我们就一起来研究这个问题.

【设计意图】

用一个故事引出本课的研究内容，设置悬念，激发学生的学习兴趣和参与课堂的积极性.

3.2   知识准备

问题①如图2，从点A到点B有三条路，走哪条路最近？^【2】

问题②如图3，某学校内有一块长方形花圃，被个别同学踩出了一条小路AB，这样做少走了几米？（简短讨论下这种做法是否正确？）

问题③如图4，在村庄A和B之间有一条小河l，现在想要在河上修建一个扬水站，往两个村庄输水.问这座扬水站建在何处能使通向两个村庄的管道之和最短？请在图中标出扬水站的位置，用点C表示，并说明你的理由.

如果两个村庄A和B到小河的距离分别为1千米和2千米，两个村庄之间的水平宽度为4千米，请问通往两个村庄的输水管道有多少千米？

 

【设计意图】问题①是对两点之间线段最短的直接应用；问题②是对勾股定理的复习和简单应用，同时对校园中这种常见的不文明行为中所蕴含的数学原理作出解释，在此问题解决后增加一个培养学生正确价值观的讨论：这样做虽然少走了2米（其实也就是三、四步）的路，但是却践踏了花草， 花草是供大家欣赏的，是无价的，不能为了个人的少走几步而损害公共财物和花草的生命。以此来引导学生向这种不文明行为说“不”！上述两个问题为问题③的研究和解决做了较好的铺垫，此处3个问题的探究又为解决”将军饮马“问题打下了坚实的基础.环环相扣，步步深入，给学生研究数学问题指明了方向.

追问1：解决上述问题，用到了哪些数学知识?请你列举出来.

追问2：问题③的解决添加了哪些辅助线？为何要这样添加？

师生活动：学生回顾解决上述3个问题的过程，从中找出解决问题所运用到的数学知识：1.两点之间线段最短；2.勾股定理；3.感悟辅助线的添加策略，构造直角三角形，运用勾股定理计算出AB的长.

【设计意图】通过做题后的反思，加深对两点之间的距离的印象，提炼出解决问题的模型，为后续问题的解决积累经验.

3.3 分析问题

已知：如图，点A、点B是直线l同侧的两个点，在 l上求作一点C，使AC+BC的和最小.

师：如何确定点C的位置？

生1：如图5，连结AB，作AB的垂直平分线，交直线l于点C，则点C即为所要求作的点.

 

生2：（质疑生1的方案）我不赞成你的观点，请问：如图6，由点C是线段AB的垂直平分线上的点，可以得出CA=CB，请问为何CA+CB的和最小？

生1：（陷入了沉思和无助）

师：这个问题与我们前面研究的问题有什么区别和联系？

生3：（思考片刻）刚才问题中的两个点是在直线的两侧，这个问题中的两个点是在直线的同侧.

师：在以前的数学学习过程中，遇到这样的问题，我们通常是如何解决的？

生4：（大声地）“转化”.将同侧的问题转化为异侧的问题.

师：（追问）如何转化？

众生：先独立思考，再小组讨论.

生5：如图7，可以先作出点A关于直线l的对称点A’，连结A’B，A’B与直线l的交点C即为所要求作的点.

 

【设计意图】通过上一环节的研究及学生独立的思考基础上，充分展现学生丰富多彩的思维过程，并对几种常见的方案作出判断，最后找到研究本问题的正确方案。这样的设计，符合人类认识和研究世界的规律。

3.4解决问题

师：（追问）请你解释一下其中的道理.

生5：根据两点之间线段最短可知A’B是点A’与点B所有连线中最短的一条，所以点C是使CA’+CB最短的点，根据轴对称的性质可知，CA=CA’，所以CA+CB=CA’+CB=A’B，因此点C是使CA+CB最短的点.

师：你讲得很好！请问还有其他解释吗？

生6：我是这样想的：如图8，如果在l上取另一点C’，因为点A与点A’关于直线l对称，则根据轴对称的性质可得出，AC’+BC’=A’C’+B C’，此时，A’C’、BC’、A’B 组成一个三角形，根据三角形两边之和大于第三边的结论，可以得出A’C’+BC’＞A’B，即AC’+BC’＞AC+BC，所以取在点C处，符合题意.

 

师：你说得很好！你重新选了一个点，并从三角形三边关系的角度对其进行了证明.这样我们就很完美地找到了解决将军饮马问题的策略，古希腊的大数学家海伦也是按这种方案帮助那位将军解决这个问题的.

（同学们情不自禁地为生6鼓掌激励）

追问1：将军饮马问题具有哪些特征？

追问2：如何解决将军饮马问题？

生7：将军饮马问题具有如下特征：①有一条直线和直线同侧的两个定点；②在直线上求一点使这点到两个定点距离之和最短.

生8：解决将军饮马的一般步骤是：①作出两个定点中的一个定点关于直线l的对称点；②连续对称点与另一定点，与直线的交点即为要求作的点；③以连结所得的线段为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解.

师：你总结得很好.这一问题是将点在直线同侧的问题转化到直线两侧.这里体现了“转化”的数学思想.

【设计意图】将军饮马问题是数学中一个非常有趣的问题，其中蕴含着深刻的数学知识，本题是培养学生分析问题和解决问题能力的典范.本环节按照以下几个步骤设计：提出问题——知识准备——分析问题——解决问题——总结提炼.让学生在理解的基础上彻底掌握这一问题.

3.5 问题延伸

1.已知，如图9，正方形ABCD边长为4cm，点E为AB的中点，点P为对角线AC上一个动点，连结PE、PB，求PE+PB的最小值.

 

2. 已知，如图10，等边三角形ABC的边长为8cm，AD⊥BC于点D，点E为边AB上一定点，AE=2cm，请在AD上找一点P，使PE+PB有最小值，并求出这个最小值.

 

【设计意图】巩固所学的知识.

3.6 回顾总结

今天学了哪些知识？你体会到什么数学思想？

①   将军饮马问题的特征；

②   将军饮马问题的解决策略；

③转化的数学思想.

【设计意图】引导学生从数学知识和数学思想方法两个方面总结自己的收获，理解本课核心知识，体会转化思想在研究数学问题中的作用.

4    教后反思

本课以故事形式提出问题，设置悬念，激发学生的学习兴趣，在解决问题之间设计了铺垫，为后面理解这个问题打下了坚实的基础，解决问题后，启发学生深入思考其中所蕴含的“理”，让学生不仅知其然，更要知其所以然.在充分理解的基础上，及时让学生总结识别问题与解决问题的方法，这个环节是很有必要的.因为最短距离问题有两种，另一种是过直线外一点向直线上各点的连线中垂线段最短问题，二者之间是有区别的，解决的策略也是不同的，因此识别问题是必不可少的一环.在识别之后，要掌握解决此类问题的一般思路，这对学生形成解题技能是非常有效的.

此外，此题较好地体现了研究数学新问题的常用方法——转化.把新问题转化为已经解决的问题，转化的思想经教师点出后，学生感悟更加清晰和深刻.这也有力地说明了，对学生进行数学思想方法的教学不能直接灌输，而应该在学生充分活动与思考后的加以点拨，这样的设计让学生在理解和接受数学思想方法层面上是科学和自然的，给学生一种水到渠成之感，让他们觉得数学思想方法是蕴藏在数学问题中的瑰宝，而不是冰冷的名词与无法理解的“怪物“.

参考文献

[1] 义务教育数学课程标准（2011版）【S】，北京师范大学出版社：8.

[2] 杨裕前、董林伟，义务教育数学课程标准实验教科书教师用书（苏科版）【M】，江苏科学技术出版社，七年级上册2012（8）：146.