儿童怎样学习数学作业

一、    皮来杰的发生认识论及对数学的影响

1.  发生认识论的基本出发点

是认识论，是个体认识的发展史。皮亚杰把发生认识论比作“智慧的胚胎学”。皮亚杰认为，知识的增长，智慧的发展，不只是量的累积，而必然伴随着认知结构的质的变化。

发生认识论是研究科学概念的个体发生的，科学概念包括两大类，一类是逻辑数学的概念，它们的形式化就是人的认知结构；另一类是对于现实世界的规律性的认识，它们的形式化则是现实的客观因果性的结构。这两种概念都派生于人的活动中，前者是活动中主体动作内化的结果，后者是活动中客观算符彼此协调的结果。外部的因果结构与主体的运算结构之间存在着某种联系。两者结构之间的紧密联系一方面表现在现实结构的获得不能离开运算逻辑结构，另一方面也表现在现实结构可以转化概括为运算逻辑的结构。它们的关系是内容与形式的对立统一，统一的基础是主、客体相互作用的活动。

2.  两种经验、两种抽象和两种水平的反省

2.1两种感知：感性活动不同于感知经验，远比感知经验具有更为丰富的内涵，感知经验从属于感性活动。皮亚杰的逻辑—数理经验是感性的而不是感知的。这种经验为日后逻辑—数理的抽象结构的形成奠定了基础。

2.2两种抽象：本义的抽象和反省的抽象。前者是对感知获得的物理经验的抽象，后者则是对动作中的逻辑—数理经验而言。反省的抽象对认知结构的形成具有举足“轻重的作用。它存在着不同的意识水平，最高层次是主体对认知结构的自我意识。

2.3两种反省：一是由前运算的动作思维（直觉思维）向具体运算过渡的反省。二是由具体运算向形式运算过渡的反省。前者是从动作向运算得到的反省。后者是从运算到运算得到的反省，它跟动作之间的联系是间接的。

3.儿童智慧发展的阶段理论

运算：内化了的、可逆的、组成系统且具有守恒性的动作。

动作要内化为运算，必须得到可逆性的支持。具有可逆性的动作才是真正的运算。

可逆性：动作可以在心理上逆转。包括两种，一是反演可逆性，另一个是互反可逆性。

反演可逆性是一个运算可由另一相反进行的运算消除掉，结果为0。有了这种可逆性，儿童才能认识部分与整体，总类与子类，集合与元素之间的包含关系。

互反可逆性的特征是，原运算与它的互反运算相结合而产生一个等值。

4.皮亚杰理论对教育的影响

皮亚杰指出：“教育的最高要求应该是使学生具有逻辑推理能力以及掌握复杂抽象概念的能力。智慧训练的目的是形成智慧而不是贮存忘记，是培养出智慧的探索者，而不仅仅是博学之才。”

4.1学习的顺序

学习内容的确定要与儿童的认识发展阶段相适应，不能安排明显超出儿童认识发展阶段的材料，不要人为地加速儿童对某种问题的认识过程。应该针对每个儿童准备性的特点来制定适合每个人的个别化的教学程序。

4.2教学方法

活动法、自我发现法、冲突法、同伴影响法。

5.脑的发展和个体能力之间的联系不是单向的，而是相互影响的；经验促进神经系统的发展，而神经系统的发展又促进更高水平的学习。逻辑上的进展与相应的心理形成过程之间存在着一种平行关系。幼儿没有否定的可逆性，儿童在 解决欧氏几何之前就能解决拓扑几何问题了。与智慧最有关系的方面不是个体做什么，而是个体内部控制和支配行动的规则或组织。

从生物学的观点来看，智慧不是一种特殊的生物器官，而是一种行为的方式，它由进化或适应的一般规律所决定。

二、儿童把握各种数学概念和规则的发展过程

1.  数学的理解的操作

会做和理解不是一回事，理解含有对正在进行的过程的意识，它包含着概念化，因此它含有某种心理上的组织或协调，这种组织和协调是以一种表象或对以前在物质或动作水平上进行的内容在抽象水平上加以重建为基础的。12岁左右达到形式运算水平的儿童能够进行运算之上的运算。会做与理解之间的时间间隔是长久的，可能是数年。

在教学上要尽量地把一个知识理解透彻，不要求数量的堆积，对后续学习意义重大的基础知识、基本技能要牢牢抓住，给学生充足的时间理解应用。

2.  逻辑分类

分类既为逻辑概念也为数学概念的发展提供了基础。归类或分类的思想是以关系的思想为基础的。四岁左右的儿童任意地进行分类，也没有全面的计划。一个类不能由知觉构造而只能由逻辑构造，因为它必须以一系列抽象和概括为前提，类的意义从这些抽象和概括中得到。数学逻辑包含着对关系的研究，它是分类的基础。

老师教学不要随意提高难度，应该注重以具体材料和老师适当提问为特点的操作型活动，因为它能为儿童达到真正理解所必需的运算水平提供着坚实的基础。

3．次序化和序列化

序列化或次序化的能力，或在运算水平上计数的能力，通常七到八岁时发展起来的。

在阶段1，儿童不能作出序列对应，在阶段2，儿童能这样做，但用的是建立在试误基础上的知觉方法。在阶段3，儿童能运用运算或智慧的方法来解决这类问题，并实现了序数和基数的运算的协调。（基数与物体的正确的数目有关，而序数则描述某个物体的位置。）序数的序列在基数序列之前就被儿童掌握了。

4．基数

老师要向儿童提供学习环境，在儿童达到一种良好的准备状态时，激发他们自己进行所需求的学习。让儿童自己从中抽象出所包含的数学结构。数的学习将产生于他们对物质世界的分类经验。分类根据的是某一集合的物体所共有的性质。数也是任何一个物体的类或集的一种性质。

计数的三种不同水平，死记硬背式的记数、理性的记数、持久等价的计数（数的守恒）。

关于守恒：首先是数的守恒，然后是质量的守恒，再后是重量的守恒，最后大约十一岁左右，获得了体积的守恒。

超越儿童心智发展阶段对儿童进行训练是不会有什么意义的。数的概念必须由儿童自己抽象出来，教师要向儿童提供具体的材料，在儿童处于良好的准备状态时，向他们作出合适的发问。

数学上的机械训练、题海战术是没有价值的。在儿童具有必要的认知过程去正确地解释他所见到的东西之前，为保持而教是没有意义的。

5．直到十二岁左右，即形式运算思维阶段开始时，一些具体运算的系统才能被儿童同时联系在一起，然后转化为它们的假设—演绎的含义。

当儿童进入形式逻辑中所包含的抽象阶段时，就应该培养学生命题类型的思维。老师的主要责任是为儿童提供物质经验并向儿童提出问题，在儿童心灵中引起平衡化过程或者逻辑运算。尽量少一点讲述或解释。

目前“显示与讲授”教学方法论把儿童的头脑看作是一台照相机在拍照片一样，但是儿童的头脑并不是拍摄现实，因此直接教授是没有意义的。

6．儿童关于几何的学习顺序

儿童首先发展的是拓扑的认识，其次才是欧氏几何的认识。因此在教学时，教师应先进行拓扑性质的活动，然后从生活中抽象出一些欧氏几何的图形。借助生活中的物体让儿童渐渐掌握几何形状的名称。

7.一维测量和二维坐标系和三维体积的学习

按照皮亚杰的观点，教师的教学要等到儿童的思维发展到相应阶段时进行才是有意义的。老师提前教学，可能教师教得很好，可是如果儿童没有达到相应阶段，则是没有任何意义的。如：体积公式不应当过早地教，要等到儿童有了对三维物体的经验，并开始理解必需的概念之后，才能教。

三、    结论

1.      发展阶段的重要性

儿童的发展阶段是规划教师的教学大纲的一个基础。教师要给儿童提供适当的学习情境，丰富的操作材料。例如当儿童能理解包含关系的概念时，教师就能用一种有效的方式开始教他们加法了。儿童对空间的理解不是别人给予的，也不是自动产生的，而是经历了一个长时期的发展过程。

教师的作用有3个，一是结合每一位儿童的特点，制定适合每个人的教学计划；二是为儿童提供丰富的学习材料，供儿童自己学习时使用；三是在儿童学习的恰当时间提出有价值的问题，以促进儿童思考、进步。

2．关于学习的加速

鲁纳提出加速学习的主张，皮亚杰对此持悲观态度，他认为加速是可能的，但不可能有极大的加速。加速要找到最佳期。