中国数学家华罗庚（1910--1985）先生说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”中国，巴比伦，古埃及，古希腊，古印度，中世纪阿拉伯、欧洲，推动了初等数学体系的形成和发展。而数学起步的基石就是自然数。自然数一旦从大自然抽象出来，就自成体系，且奥妙无穷，气象万千。本文接续《奇妙的自然数》的话题，再探自然数神秘的一角。

    回文数

    自然数中有一类数，顺看逆看数字相同，称为回文数，又称对称数。

    如：11，121，1221，9339，30203等等。

    初看，回文数似乎没有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有限的步骤后必能得到一个回文数。 

    例如95：95+59=154， 154+451=605， 605+506=1111。1111就是一个回文数。

    又如195：195+591=786，  786+687=1473，  1473+3741=5214， 5214+4125=9339。四步就得到了回文数。    又如198：198+891=1089，1089+9801=10890，10890+09801=20691，20691+19602=40293，40293+39204=79497

    79497又是一个回文数。

    但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是196，有人用计算机试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。196这样似乎永远也产生不出一个回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测，没有人能用数学证明的方法对这个问题下结论，所以“196问题”也成了世界性数学难题之一。经过计算，在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。

 

    自守数

    自然数中还有一类“自守数”。所谓自守数，就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。

    例如：21×21=421，21×21×21=9261；325×325=105625；6×6×6×6=1296，

    这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成10x+6，这里x为任意自然数，那么

   （10x＋6）² ＝100x² ＋120x＋36＝10（10x² ＋12x＋3）＋6，

    由于x是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。

    如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？有。末尾是25和76的数就是自守数。

   （1025）² ＝1050625，（176）² ＝5451776，

    如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。

　

    陷阱数   

    自然数中还有一些数，看起来平常，实际很特别，甚至令人百思不得其解。6174就是其中之一。

    把6174各位数字从大到小排列，再从小到大排列，然后用大数减小数，结果还得到6174。

    7641-1467=6174

    就像掉入陷阱，爬不出来。有趣的是，不仅6174本身，就是任意一个四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。

    例如：1234这个数，我们用下列步聚运算：

    4321-1234=3087， 8730-0378=8352， 8532-2358=6174。

    又如，0923，则有：

    9320-0239=9081， 9810-0189=9621， 9621-1269=8352， 8532-2358=6174。

    再举一例，如2883，则有：

    8832-2388=1998， 9981-1899=7982， 9872-2789=7083， 7830-0387=7443，

    7443-3447=3996， 9963-3699=6264， 6642-2466=4176， 7641-1467=6174。

    对三位数字，用这个办法最终将得到495。例如867，运算如下：

    876-678=198， 981-189=792，972-279=693，963-369=594， 954-459=495。

    你也可以随便用一个其它数字来验证，看看结果是不是这样。

    五位以上的数字，这个规律就不明显了。

    对随便一个六位数按上述方法计算，会得到3种结果：

    (1) 631764的重复；(2) 549945的重复；(3)下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。 

    对八位数也有类似的结果，其中一个关键的数是63317664；

    对十位数来说，关键的数是6333176664。

    由此看来，从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都可能遇到陷阱数。

 

    奇数和与偶数和

    让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。

    奇数数列是1，3，5，7，… 2n-1，…（n为项数），

    偶数数列是2，4，6，8，…2n，…（n为项数）。 

    人们研究奇数，发现如下的性质：

    1＝1² ，1＋3＝2² ，1＋3＋5＝3² ，1＋3＋5＋7＝4² ， ……

    1＋3＋5＋……＋(2n-1)＝n² 。

    研究偶数，则有如下性质：

    2＝1×2， 2＋4＝2×3， 2＋4＋6＝3×4， 2＋4＋6＋8＝4×5， ……

    2＋4＋6＋……＋2n＝n×(n＋1)

    对于自然数列，下面十分有趣的规律也成立：

    1³＝1²， 1³＋2³＝(1＋2)² ，1³＋2³＋3³＝(1＋2＋3)² ，

    1³＋2³＋3³＋4³＝(1＋2＋3＋4)² ，……

    1³＋2³＋3³＋4³＋……＋n³＝(1＋2＋3＋4……＋n)² 。

 

    完全平方数

    一个数如果是另一个整数的完全平方，就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：  

    0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，

361，400，441，484，529，576，625，……
　　观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等等规律性的认识。　　  

性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。
　　性质2：奇数的平方的个位数字为奇数1，5，9；十位数字为偶数。
　　性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
    推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
　　推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个0的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 
    性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
    性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
    性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1。
    性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
    性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9。
    除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13 叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
    性质10：一个数的数字和等于这个数被9 除的余数。而完全平方数的数字之和只能是

0，1，4，7，9。
　　性质11：a²b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。 
　　性质12：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。 
　　性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。 
    由以上性质还得到以下重要结论：
    1、个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；　
    2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
    3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
    4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
    5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
    6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
    7、形如8n+2， 8n+3， 8n+5， 8n+6，8n+7型的整数一定不是完全平方数；
    8、数字和是2，3，5，6，8的整数一定不是完全平方数。

 

    完全数

    完全数又称完美数或完备数。如果一个自然数等于除了它自身以外的各个因数之和，则这个数叫做完全数。
　　如：　6=1＋2＋3， 　　28=1＋2＋4＋7＋14，
　　496=1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，
　　8128=1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016＋2032＋4064，
　　用完美来形容6，28，496，……这一类数很恰当，因为它的各因数的和不多不少等于它自己。完全数还有一些令人感到神奇的鲜为人知的有趣事实，π数值取小数点后面3位相加恰是第一个完全数6(=1＋4＋1)，小数点后7位相加正好等于第2个完全数 28(= 1＋4＋1＋5＋9＋2＋6).居然能有如此的联系，难道不足以令人惊讶吗? 

大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。

    例如：p=2，是质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。

    又如：p=3，是质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。

    但是2^p-1什么条件下才是质数呢?事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。至今，人类只发现了47个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。 

    完全数真少。前8000多个正整数中只有4个！在1到40000000这么多数里，才有7个！即：6，28，496，8128，33550336，8589869056 ，137438691328 。
　　而且，从发现第4个完全数后到1588年发现第7个完全数，居然历经一千多年，也许是因为第7个完全数要比第4个完全数大了近17万倍，寻找倍感艰难。

    其后，借助计算机找到了当p=521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423时相应的完全数。p=9689，9941，11213，19937，21701，23209，时也给出了完全数。你无法想像这些完全数有多大！例如，1963年，伊利诺斯大学发现了对于p=11213时的第23个完全数，它包含6751个数字，有22425个因子。至1998年1月，找到第37个完全数相应的p=3021377。2009年，找到第47个完全数，2^42643800 X (2^42643801-1) ，相应的p=42643801。 奇怪的是，已发现的47个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10的300次方。当代数学家奥斯丁·欧尔证明，在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

 

     相亲数   

     2500年前，数学大师毕达格拉斯发现220与284两个数存在着奇妙的联系：

     220的真因数之和：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

     284的真因数之和：1+2+4+71+142=220

     这不是“你中有我，我中有你”，相亲相爱吗！

     毕达哥拉斯把这样的数对称为相亲数（亲和数）。真因数是指除去本身之外的全部约数。

     从古以来，相亲数就引起了许多数学家与业余爱好者的浓厚兴趣。

     很早以前，阿拉伯数学家培别脱•本•科拉就建立了一个有名的“相亲数公式”： 

     设： a=3×2x－1 ，b=3×2x-1－1 ，c=9×22x-1－1 

这里x是大于1的自然数，如果a、b、c全是素数的话，那么2x×ab与2x×c就是一对相亲数。 

     例如，当x＝2时，我们可以算出a＝11，b＝5，c＝71，它们都是素数，所以 

     2x×ab＝22×11×5＝220 

     2x×c＝22×71＝284 

根据这一公式，人们可以毫无困难地写出一系列相亲数。 

     著名数学家欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年，他一口气向公众抛出了60对相亲数。可是，人们从此对相亲数的研究裹足不前了，认为这样一位大数学家已经研究过，而且又创造了60对相亲数的纪录，这个课题看来是已经到了“顶峰”。

    一百多年过去后，“相亲数”这个话题，好似已经被世人遗忘。可是在1866年，有一个16岁的意大利青年巴格尼尼却令人吃惊地发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。原来欧拉算出了长达几十位的“天文数字”一般的相亲数，却偏偏遗漏了近在身边的第二对。

 

     杜西现象

    让我们再看一个有趣的数字现象。

    1930年，意大利的杜西教授作了如下的观察： 在一个圆周上放上任意四个数，例如：8，43，17，29， 让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，将得数写在第二圈圆周。再如此做下去，不久，在有限步之内必然会出现4个相同的数。这个现象叫作“杜西现象”。

    科学家还证明，如果四个数中最大的是n， 则在重复4n-1步时，四个差数将相同。 

　　　

    最后再让我们看两组有趣的数：

    第一组为：1，6，7，23，24，30，38，47，54，55 

    第二组为：2，3，10，19，27，33，34，50，51，56 　　

这两组数有什么奇特之处呢？

    首先，这两组数都没有公因数，而且，两组数各自的和都是285。

    再计算一下它们的方幂之和，结果从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等。

你还能不感到惊奇吗？

   方幂次数 每组数方幂和

    0       10 

    1       285

    2       11685

    3       536085

    4       26043813

    5       1309753125

    6       6734006805

    7       3512261547765

    8       185039471773893

不过，算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么呢？

    自然数源自大自然，她基本，简单，普通，实用。但如果把她拆拆分分，分分合合，比来比去，东拼西凑，横排竖列，循环往复，…………竟然发现她十二万分的奇妙和神秘！

    万物皆数，到底是人类创造的数字自身神奇？还是用数来描述的大自然，冥冥之中隐藏着人类难以破解的密码？只待生生不息的人类继续不懈的探索！