关于一首数学家的情歌 《finite simple group （of order two） （二阶）有限单群》的解释

Finite Simple Group (of Order Two)
            A Klein Four original by M. Salomone

The path of love is never smooth

字面上说，这句话的意思是，通往爱情的道路不曾平坦。同时，path有路径的意思，smooth是光滑,一般来说指可微性。我们说这条曲线是光滑的，就是说这条曲线处处可微.

But mine's continuous for you

但是我对你的爱是持续不断的 continuous 连续性，可以指直观上的连续，没有间断，没有跳跃，

[若f在x点连续，则f在x的极限等于f(x)]

You're the upper bound (上界) in the chains（连续子集） of my heart        

chain：链，全序子集。所谓序，可以理解成对集合中的元素进行一种按某种大小定义排列的行为。

你是我心链的上限。

You're my Axiom of Choice(选择公理) you know it's true

选择公理，简称AC，AC在各个数学分支中有各自的表现形式，这里给出一种：

对任意集c，存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元素x，g(x)属于x。

AC 在数学基础中具有很重要的地位，看似是一个很无聊很显然的结论，但是缺少了它之后将会导致许许多多重要的结论改写，而承认AC也会导致如著名的 Banach分球悖论。所以，对于不是专注于研究数学基础的人来说，一般倾向于直接承认选择公理，这也就是歌词中说“you know it's true”的原因。

But lately our relation(关系)'s not so well-defined

relation，若r是a x b（Descartes积）的子集，则r称为集a到集b的关系，(x,y)属于r可以记为xry。

well- defined：具体来说，由于公理化体系是严格建立在几条已确定公理上的，所以对于这个公理系统本身，以及推出的所有 性质、其他定义，都需要确认他们的定义是有意义的，无矛盾的，所以以上定义的relation也需要时无矛盾的，这个大致就称为“well- defined”。

但是最近我们的关系似乎定义不明确。

And I just can't function without you

function：函数。

有了relation，我们就可以定义函数：

若a到b的关系f具有性质：对任意的x属于a，有唯一的y属于b使得(x,y)属于f，则f称为a到b的函数。

关于函数，我们通常写成 f:a --> b，更熟悉的写法则是y=f(x)。

我没有你就不能正常运作 - -|

I'll prove my proposition and I'm sure you'll find

我要证明我的定理，我相信你能发现

We're a finite simple group of order two

我们就是一个二阶的有限单群

group：群。群是代数里最基础、最重要的概念之一。

所谓群，指一个集合G和一个二元运算x，若满足：

(1)结合性： http://hiphotos.baidu.com/poleis/pic/item/a4c27d1eb8757dc81bd576ce.jpg

(2)有幺元：http://hiphotos.baidu.com/poleis/pic/item/d21b0ef477bbde52ddc474ce.jpg

(3)有逆元素：http://hiphotos.baidu.com/poleis/pic/item/ddc451daf1a54ae7b6fd48ce.jpg(不知道为啥两个a不一样囧)

以上abc皆为任意G中的元素。

注：群的定义中并没有交换性（axb=bxa），所以上述(2)(3)其实分为左幺元、右幺元和左逆元素、右逆元素，不过在幺元唯一的情况下，应该可以确定左与右是没有影响的。

simple group：单群。

（百度百科）：对于一个有限群G中的任意元素g，若gA与Ag组成的集是相同的，则称G为正规的（normal）若G的所有子群中，只有单位群（只有幺元的群）与G本身是正规的，则称G为单群。（是不是和素数很像）

finite simple group：有限单群。即群中的元素个数有限。

order：阶。

这里所说的二阶有限单群，是指群中除了幺元外所有元素的阶都是2。

有限单群（在同构的意义下）可以彻底分类，并在上个世纪80年代得到完美解决，这是代数中一个比较NB的结果。

I'm losing my identity

identity：单位元

我正在失去我的单位元（身份）

I'm getting tensor every day

我每天都更紧张。

tensor：张量。（音似：tenser ）

“我”是一个Z2群，“你”也是一个Z2，所以将我们做tensor运算后就得到了2阶的有限单群。

And without loss of generality

I will assume that you feel the same way

without loss of generality：不失一般性。

在讨论某些问题时，并不需要考虑所有的情况，取某些特定的代表就可以搞清楚整个状况，这时候最爱用“不失一般性”这几个字；

assume：假定。举例来说，x是实数，而我们发现讨论这个问题时x的正负性并不重要，因此这么说，“Without loss of generality, assume x > 0.”

综上，这句歌词的含义就是，不失一般性，取“我”为代表，而“你”和“我”其实都是Z2，所以结论是一样的，自然你的feeling和我是一样的。

Since every time I see you, you just quotient out

The faithful image that I map into

商映射 quotient map 不清楚。

But when we're one-to-one,You'll see what I'm about

one-to-one：一一对应关系，就是从a出发找到唯一一个b，而从b出发也能找到唯一的a。

当我们一对一时，你能知道我是什么样的。

'Cause we're a finite group of order two

因为我们是一个二阶有限单群

Our equivalence was stalbe

我们的等价关系是稳定的

equivalence：等价关系有 (1)自反性：xRx    (2)对称性：xRy ==> yRx    (3)传递性：xRy, yRz ==> xRz

A principal love bundle sitting deep inside

But when you drove a wedge between our two-forms

principal bundle（主丛）、wedge（外积）、tow-forms（2-形式）是微分流形中的一些概念。外积一次后变成2-形式

爱的主从根植其间，但之后你在我们2形式之间画上一个契积。

Now everything is so complexified、

现在一切都被复化了

When we first met, we simply connected

当我初次相遇，我们还是单连通（单连通空间，指所有闭曲线皆能连续地收缩到一点）

My heart was open开集, but too dense稠密性

（任意a不等于b，则在a与b之间必存在一个c。有理数集是稠密的，自然数集则不是。）

Our system was already directed（定向）

To have a finite limit, in some sense

我们系统已有所定向，从某种意义上说有个有极极限。

I'm living in the kernel of a rank-one map

我生活在一个秩为1的核里。

kernel：核。f是一个映射，所有的f(x)=0中的x组成的集合就是f的kernel。

rank：秩。

From my domain定义域, its image look so blue

从我的定义域来看它的像太郁闷

'Cause all I see are zeroes, it's a cruel trap

因为我看到的都是零点，它是一个残酷的陷阱。

kernel里的点都被映射成了0，所以all zeroes。

But we're finite simple group of order two

但是我们是二阶有限单群。

I'm not the smoothest operator 算子in my class类

But we're a mirror pair, me and you

但是我们是个镜像对。

（因为你和我都是相同的Z2，所以相当于一种镜像。）

So let's apply forgetful functors to the past

And be a finite simple group, a finite simple group

Let's be a finite simple group of order two

Why not three?

为什么不是三阶的？

I've proved my proposition now, as you can see

如你所见我已证毕了我的命题。

So let's both be associative and free

所以让我们自由地满足结合率

And by corollary, this shows you and I to be

根据推论也蕴含着你我

Purely inseparable. Q。E。D。

是纯不可分的。证明完毕。

purely inseparable：纯不可分。连续分布。

Q.E.D：证毕，也可以写成一个小方块。

下面是视频：

http://v.youku.com/v_show/id_XMTQxNzg2ODU2.html

歌 由美国西北大学数学系的The Klein Four乐队创作，整首歌用函数关系类比了两人关系,用从Z_2生成二阶有限单群的过程来象征两人的结合。一开始“我”和“她”是两个集合（Z_2），如 果想在两个集合间建立 起一个函数关系，必须要定义出一个relation，但一开始这个relation是不完备的。之后作者又非常巧妙地利用了群的第一同态定理，通过商映射 把真实和虚幻联系了起来，解释两个人在感情发展过程中有过的误会与不愉快……最后又运用了二阶有限单群的性质，证明我们是连续不可分的。很cool很强 大...