六单元 多边形的面积

(一)教学目标

1．利用方格纸和割补、拼摆等方法 ，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。

2．认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。

(二)教材说明和教学建议

教材说明

1．本单元教材包括四部分内容：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积和组合图形的面积。

   平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的，它们是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。到这一单元结束，多边形面积的计算就基本学完。

    组合图形的面积在义务教育的教材中是选学内容。本单元安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后学习，学生在进行组合图形面积计算中，要把一个组合图形分解成已学过的平面图形并进行计算，可以巩固对各种平面图形特征的认识和面积公式的运用，有利于发展学生的空间观念。

2．因为平行四边形、三角形和梯形面积计算联系比较紧密，本单元教材把它们编排在一起。教材编排注意突出以下特点。

（1）加强知识之间的联系，根据图形面积计算之间的内在联系安排教学顺序，以促进知识的迁移和学习能力的提高。

（2）体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程。

   （3）注意练习的探索性，形式多样化，以促进学生对计算公式的理解和灵活运用。

   教学建议

1． 重视动手操作与实验。

2． 引导学生探究，渗透“转化”思想。

3．注意培养学生用多种策略解决问题的意识和能力。

4．本单元可以用9课时进行教学。

 

多边形的面积

第一课     平行四边形面积的计算

教学目标

　　1．使学生在理解的基础上掌握平行四边形面积的计算公式，并会运用公式正确地计算平行四边形的面积．

　　2．通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力．

　　3．对学生进行辩诈唯物主义观点的启蒙教育．

教学重点：

　　理解公式并正确计算平行四边形的面积．

教学难点：

理解平行四边形面积公式的推导过程．

学具准备：

    每个学生准备一个平行四边形。

教学过程：

1、什么是面积？

2、请同学翻书到80页，请观察这两个花坛，哪一个大呢？假如这块长方形花坛的长是3米，宽是2米，怎样计算它的面积呢？

二、导入新课

根据长方形的面积=长×宽（板书），得出长方形花坛的面积是6平方米，平行四边形面积我们还没有学过，所以不能计算出平行四边形花坛的面积，这节课我们就学习平行四边形面积计算。

三、讲授新课

（一）、数方格法

用展示台出示方格图

1、这是什么图形？（长方形）如果每个小方格代表1平方厘米，这个长方形的面积是多少？（18平方厘米）

2、这是什么图形？（平行四边形）每一个方格表示1平方厘米，自己数一数是多少平方厘米？

请同学认真观察一下，平行四边形在方格纸上出现了不满一格的，怎么数呢？可以都按半格计算。然后指名说出数得的结果，并说一说是怎样数的。

2、请同学看方格图填80页最下方的表，填完后请学生回答发现了什么？

小结：如果长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高，则它们的面积相等。

（二）引入割补法

   以后我们遇到平行四边形的地、平行四边形的零件等等平行四边形的东西，都像这样数方格的方法来计算平行四边形的面积方不方便？那么我们就要找到一种方便、又有规律的计算平行四边形面积的方法。

（三）割补法

1、这是一个平行四边形，请同学们把自己准备的平行四边形沿着所作的高剪下来，自己拼一下，看可以拼成我们以前学过的什么图形？

2、        然后指名到前边演示。

3、教师示范平行四边形转化成长方形的过程。

刚才发现同学们把平行四边形转化成长方形时，就把从平行四边形左边剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右边，拼成长方形。在变换图形的位置时，怎样按照一定的规律做呢？现在看老师在黑板上演示。

①先沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。

②左手按住剩下的梯形的右部，右手拿着剪下的直角三角形沿着底边慢慢向右移动。

③移动一段后，左手改按梯形的左部。右手再拿着直角三角形继续沿着底边慢慢向右移动，到两个斜边重合为止。

[雨林木风3]请同学们把自己剪下来的直角三角形放回原处，再沿着平行四边形的底边向右慢慢移动，直到两个斜边重合。（教师巡视指导。）

4、观察（黑板上在剪拼成的长方形左面放一个原来的平行四边形，便于比较。）

①这个由平行四边形转化成的长方形的面积与原来的平行四边形的面积比较，有没有变化？为什么？

②这个长方形的长与平行四边形的底有什么样的关系？

③这个长方形的宽与平行四边形的高有什么样的关系？

教师归纳整理：任意一个平行四边形都可以转化成一个长方形，它的面积和原来的平行四边形的面积相等，它的长、宽分别和原来的平行四边形的底、高相等。

5、引导学生总结平行四边形面积计算公式。

这个长方形的面积怎么求？（指名回答后，在长方形右面板书：长方形的面积＝长×宽）

那么，平行四边形的面积怎么求？（指名回答后，在平行四边形右面板书：平行四边形的面积＝底×高。）

6、教学用字母表示平行四边形的面积公式。

板书：S＝a×h，告知S和h的读音。

说明在含有字母的式子里，字母和字母中间的乘号可以记作“•”，写成a•h，也可以省略不写，所以平行四边形面积的计算公式可以写成S＝a•h，或者S＝ah。

（6）完成第81页中间的“填空”。

7、验证公式

    学生利用所学的公式计算出“方格图中平行四边形的面积”和用数方格的方法求出的面积相比较“相等” ，加以验证。

条件强化：求平行四边形的面积必须知道哪两个条件？（底和高）

（四）应用   

1、            学生自学例１后，教师根据学生提出的问题讲解。

2、算出下面每个平行四边形的面积。

 

 

 

3、判断，并说明理由。

(1)两个平行四边形的高相等，它们的面积就相等(    )

(2)平行四边形底越长，它的面积就越大(    )

4、做书上82页2题。

四、回顾总结

今天，你学会了什么？怎样求平行四边形的面积?平行四边形的面积计算公式是怎样推导的?

五、作业

练习十五第1题。

  六、板书设计

                         平行四边形面积的计算

 长方形的面积＝长×宽

 

 平行四边形的面积＝底×高

S=a×h

S=a•h或S=ah

第二课时

教学内容：平行四边形面积计算的练习 （P82～83页练习十五第4～8题。）

教学要求：

1．巩固平行四边形的面积计算公式，能比较熟练地运用平行四边形面积的计算公式解答有关应用题。

2．养成良好的审题习惯。

教学重点：运用所学知识解答有关平行四边形面积的应用题。

教具准备：展示台

教学过程：

一、基本练习

1、平行四边形的面积是什么？它是怎样推导出来的？

2、．口算下面各平行四边形的面积。

（1）底12米，高7米；

（2）高13分米，第6分米；

（3）底2.5厘米，高4厘米

二、指导练习

1．补充题：一块平行四边形的麦地底长250米，高是78米，它的面积是多少平方米？

（1）生独立列式解答，集体订正。

（2）如果问题改为：“每公顷可收小麦7000千克，这块地共可收小麦多少千克？

①必须知道哪两个条件？

②生独立列式，集体讲评：

先求这块地的面积：250×780÷10000＝1.95公顷,

再求共收小麦多少千克：7000×1.95＝13650千克

（3）如果问题改为：“一共可收小麦58500千克，平均每公顷可收小麦多少千克?”又该怎样想？

与⑵比较，从数量关系上看，什么相同？什么不同？

讨论归纳后，生自己列式解答：58500÷（250×78÷1000）

（4）小结：上述几题，我们根据一题多变的练习，尤其是变式后的两道题，都是要先求面积，再变换成地积后才能进入下一环节，否则就会出问题。

2.（1）练习十五第5题：

 

 

 

                  1.4厘米

                       2.5厘米

a、你能找出图中的两个平行四边形吗？

b、他们的面积相等吗？为什么？

c、生计算每个平行四边形的面积。

d、你可以得出什么结论呢？（等底等高的平行四边形的面积相等。）

 （2）练习十五6题

      让学生抓住平行四边形的底和高与正方形有什么关系。（平行四边形的底和高分别等于正方形的边长。）

3.练习十五第3题：已知一个平行四边形的面积 28平方米和底7米，求高。

 

分析与解：因为平行四边形的面积＝底×高，如果已知平行四边形的面积是28平方米，底是7米，求高就用面积除以底就可以了。

三、课堂练习

练习十五第7题。

四、作业

练习十五第4题。

第三课    三角形面积的计算

教学目标：

　　1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．

　　2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．

　　3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神．

　　教学重点:

　　理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．

　　教学难点:

理解三角形面积公式的推导过程．

学具准备：

每个学生准备三种类型三角形(每种类型准备2个完全一样的)和一个平行四边形。

教学过程

一、激发

    1．出示平行四边形

 

底是1.5厘米

   高是2厘米

    提问：(1)这是什么图形?计算平行四边形的面积。    （板书：平行四边形面积＝底×高）   

    (2)底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。

    (3)平行四边形面积的计算公式是怎样推导的?

    2．出示三角形。三角形按角可以分为哪几种?

3．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?（揭示课题：三角形面积的计算）

教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）

　　二、指导探索

　 （一）推导三角形面积计算公式．

　　1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小．

　　2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？

　　3．用两个完全一样的直角三角形拼．

　　（1）教师参与学生拼摆，个别加以指导

　　（2）演示课件：拼摆图形

　　（3）讨论

①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式吗？为什么？

②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行 四边形的面积有什么关系？

　　4．用两个完全一样的锐角三角形拼．

　　（1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示）

　　（2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移）

　　教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

　　5．用两个完全一样的钝角三角形来拼．

　　（1）由学生独立完成．

　　（2）演示课件：拼摆图形

　　6．讨论：

　　（1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？

　　

（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

（3）三角形面积的计算公式是什么？

7、引导学生明确：

①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。

②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。（同时板书）

     ③这个平行四边形的底等于三角形的底。（同时板书）

     ④这个平行四边形的高等于三角形的高。（同时板书）

(3)三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?为什么要加上“除以2”？（强化理解推导过程）

    板书：三角形面积＝底×高÷2

（4）如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？

（二）教学例1

红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？

　　1．由学生独立解答．

　　2．订正答案（教师板书）

　　三、质疑调节

　　（一）总结这一节课的收获，并提出自己的问题．

　　（二）教师提问：

　　（1）要求三角形面积需要知道哪两个已知条件？

　　（2）求三角形面积为什么要除以2？

　　四、反馈练习

　　（一）下面平行四边形的面积是12平方厘米，求画斜线的三角形的面积．

　　（二）计算下面每个三角形的面积．

　　1．底是4.2米，高是2米；

　　2．底是3分米，高是1.3分米；

3．底是1.8米，高是.1.2米；

（三） 判断

1、一个三角形的底和高是4厘米，它的面积就是16平方厘米。（）

　　2、等底等高的两个三, 角形，面,, 积一定相等。 , , （）　

　 3、两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。（ ）　

　 4、三角形的底是3分米，高是20厘米，它的面积是30平方厘米。（）

五、作业：85页做一做和练习十六1题

板书设计

 

三角形面积的计算

因为：平行四边形的面积=底×高，    例1… …

三角形面积=拼成的平行四边形的一半，  100×33÷2=1650（cm）

所以三角形面积=底×高÷2    

S=ah÷2

第四课

教学内容：三角形面积计算的练习（练习十八5～10题）

教学要求：

1.是学生比较熟练地应用三角形面积计算公式计算三角形的面积。

2.能运用公式解答有关的实际问题。

3.养成良好的审题、检验的习惯，提供正确率。

教学重点：运用所学知识，正确解答有关三角形面积的应用题。

教具准备：展示台

教学过程：

一、基本练习

1.填空。

（1）三角形的面积＝      ，用字母表示是        。

 为什么公式中有一个“÷2”？

（2）一个三角形与一个平行四边形等底等高，平行四边形的底是2.8米，高是1.5米。三角形的面积是（         ）平方米，平行四边形的面积是（          ）平方米。

2、练习十六2题

二、指导练习

1.练习十六第6题：下图中哪两个三角形的面积相等？（两条虚线互相平行。）你还能画出和它们面积相等的三角形吗？

 ⑴生用尺量一量这两条虚线间的距离，搞清这两条虚线是什么关系？

⑵看看图中哪两个三角形的面积相等？为什么？

⑶分组讨论如何在图中画出一个与它们面积相等的三角形，并试着画出来

2.练习十六第7题

（1）    让学生尝试分。

（2）    展示学生的作业

可能有 ： a、根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。而要找这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某一边4等份，再将各分点与这边相对的顶点连接起来即可。

 b、也可把原三角形先二等分，再把每一份分别二等分。

 3、练习十六9*

 

 

 让学生抓住涂色的三角形的底只有平行四边形底的一半，它的高和平行四边形的高相等，平行四边形的面积=底×高，三角形的面积=（底÷2）×高÷2，所以三角形的面积等于48÷4

 

4.练习十六第3题：已知一个三角形的面积和底，求高？

 让学生列方程解和算术方法解，算术方法176×2÷22，要让学生明确176×2是把三角形的面积转化成了平行四边形的面积。

 

三、课堂练习

练习十六第8*题。

四、作业

练习十六第4、5题。

 

《梯形的面积》教学设计

一 教学目标：

1、使学生通过观察、操作、猜测、填表、讨论等方法探索并掌握梯形面积的计算方法，通过迁移前面学法，自主探究梯形上下底、高与平行四边形的底、高之间的关系，能正确计算梯形的面积，应用公式解决相关的实际问题。

2、培养学生观察、推理、归纳能力，体会转化思想的价值。

3、让学生进一步积累解决问题的经验，增长新图形面积研究的策略意识，获得成功体验，提高学习自信心。

二 教学重点：

本节以探究梯形面积，掌握并应用梯形面积的计算公式为主要内容，其中学生对梯形面积公式的推导是本课题的重点。

教学难点：

通过学生动手操作、人机交流，把两个相同的直角梯形、等腰梯形和一般梯形通过割补、拼合等方法转化为三角形、长方形或平行四边形，并推导出梯形的面积的计算公式，则是本课时的难点。

三、教学准备：

    教学媒体有：实物投影器、多媒体计算机、课件。

四 教学过程

一、   创设情境 生成问题

（出示姚明图片）认识他吗？谁知道姚明是从事什么体育运动的？那么，老师想请教你们一些有关篮球方面的知识。

（出示课件）这是咱们学校的篮球场地，这个区域是什么区？（这个区域是三秒区）

三秒区是什么 图形？（三秒区是梯形）那么你能求出三秒区的面积吗？这节课我们共同来研究梯形的面积。（板书课题：梯形的面积）

二、        探究研讨

1、那么怎样计算梯形的面积呢？你准备怎样来推导梯形面积的计算方法呢？（同桌交流）

师可以适时启发：回想一下，前面我们在推导三角形的面积计算公式时是把它转化成什么图形来研究的呢？

对！我们在研究一种新图形的时候，都是想办法把它转化成我们已经学过的图形，再求出新图形的面积。

2、 今天我们研究梯形面积的计算方法，你想把梯形转化成你学过的什么图形来计算它的面积？说说你的想法？

我能把梯形转化为三角形，我能把梯形转化为平行四边形…

（通过师生交流使学生认识到：要计算梯形的面积，可以先想办法把梯形转化成已经学过的图形，再求面积。）

设计意图：这里为学生的学习作了一些铺垫，一是基础知识方面的，回忆梯形的有关知识为探索梯形面积的计算方法作知识上的准备，二是解题策略方面的，突出“转化”思想的重要性，并提示学生在研究梯形时可以怎样思考，这样可以降低思想的重要性，并提示学生在研究梯形时可以怎样思考，这样可以降低一些学困生的学习难度；直接引出话题，更可以使学生明确学习目标。

师：不过，这节课我要做一名忠实的听众，由你们自己通过小组讨论、尝试操作，找到梯形面积的计算方法，然后小组中推荐出代表，讲给全班同学听，怎么样？

师：下面就利用你们手中的学具分小组讨论，

设计意图：

让学生与同伴一起互相活动操作实验，使学生积极主动参与学习全过程，为学生提供了思考表现创新的机会，使学生成为知识探索者、发现者，创新者。

要求：

（1）拼成的图形的底与梯形的上底、下底有什么关系？

（2）拼成的图形的高与梯形的高有什么关系？梯形的面积与拼成的图形的面积呢？

（3）根据拼成的图形的面积公式，怎样求梯形的面积？

小组长汇报并用学具到前面用投影展示小组的转化过程

师：从刚才同学们的讲解过程中我发现每个同学都有大家学习的地方，同学们真了不起，你们所讲的实际上就是老师想说的，下面我把同学们的操作过程再次呈现给大家，

   师（边操作边讲解，）：任意两个完全一样的梯形都可以拼成一个平行四边形，有时也能拼成长方形，这个平行四边形的面积=底×高，长方形的面积＝于长×宽，而平行四边形的底和长方形的长等于这组等底等高的梯形的一个上底与下底之和。平行四边形的高和长方形的宽等于梯形的高，所以梯形的上底加下底之和乘高就是平行四边形的面积或长方形的面积，而每一个梯形的面积都是它所拼成的这个平行四边形面积的一半，因此用平行四边形的面积除以2就是梯形的面积。

2、刚才我们再一次用转化的方法把两个完全一样的梯形拼成了学过的图形，推导出了梯形面积的计算公式，可是如果我们手中只有一个梯形，你们能不能自己动脑想出别的计算方法验证我们刚才的发现呢？（你们能不能推导出梯形的面积计算方法呢，或是如何验证我们刚才的结论是正确的呢。）小组讨论。

分组汇报。学生可能讨论出的计算方法有：

方案（2）：将梯形沿着两腰的中点对折，然后再用剪刀沿折痕剪开，经旋转平移后拼成平行四边形。

   方案⑶：用割补法，把一个梯形割补成一个三角形。三角形的底相当于梯形上底加上下底的和，三角形高相当于梯形的高。三角形的面积相当于梯形的面积。

因为：三角形的面积=底×高÷2

所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

  方案(4）：从上底的两个顶点做下底的垂线，把梯形分割成一个长方形和两个三角形。

  方案(5）：从两腰中点做下底的垂线，分割下的两个小三角形旋转可拼成一个长方形。

  方案(6）：从上底一顶点做另一腰的平行线，把梯形分割成一个平行四边形和一三角形。

设计意图：通过学生大胆猜测，如何选择图形——动手操作——观察、交流、讨论——汇报得出公式的系列过程，使学生很自然地产生，一步步向前探索的需要，这个让学生经历“建立猜想、实际操作、观察发现、抽象公式”的过程，既使学生理解了公式的来龙去脉，锻炼了数学揄能力，又能使学生实实在在经历了由建立猜想到实验验证，再到归纳发现的全过程，感受到数学方法的内在魅力。

3、总结：实际上利用一个梯形推导梯形面积的方法还有很多。不管采取何种剪拼方法都可以得出梯形的面积是“上底与下底的和乘高再除以2。同学们可以课下继续去用不同的方法验证。

4、抽象概括

师：读面积公式，梯形的面积也可以用字母公式表示出来，梯形的面积用S表示，用a、b和h分别表示梯形的上、下底和高，那么梯形的面积公式是：S=（a+b）×h ÷2

5、追问：想一想，计算梯形的面积必须要知道哪些条件？

三训练反馈

1、计算下面图形的面积

分组独立解决。集体订正

2、我是小法官

（1）两个梯形都能拼成一个平行四边形。

（2）两个形状一样的梯形一定能拼成一个平行四边形。

（3）两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形。

（4）平行四边形的面积是梯形面积的2倍。

3、比较下面梯形的面积，你发现了什么？

出示两组梯形，让学生观察，体会梯形的面积和什么有关系。

拓展延伸

4、考考你的思考力

u  如果计算下面直角梯形的面积,需要测量哪些数据?

u  如果已知红色的三条边共长7厘米,你至少要测量几次?

u  下面直角梯形三条红色的边共长7厘米,并且它的高是3厘米,它的面积是多少平方厘米?

 

 

 

小结： 

 

 

 

 

 

1、这节课同学们有什么收获？

2、这节课同学们有收获，老师也有收获，你们能通过自己的操作推导出梯形的面积，老师看到你们获得了新知，老师心里就获得了快乐。<, /, SP, AN>

第六课 组合图形面积的计算

教学内容：92和93页    练习十八

教学目标：明确组合图形的意义；

          知道求组合图形的面积就是求几个图形面积的和（或差）；

          能正确地进行组合图形面积计算，并能灵活思考解决实际问题。

教学过程：

一、      复习。

“第一个图形是什么形？它的面积怎样计算？”学生口答，教师在长方形图的下面板书：S＝ab

“第二个图形呢？”

……

学生分别口答后，教师在每个图的下面写出相, 应的计算面积的公式．

教师：计算这些图形的面积我们已经学会了，可是在实际生活中，有些图形是由几个简单的图形组合而成的，这就是我们今天要学习的内容，板书：组合图形面积的计算。

二、认识组合图形

1、让学生指出92页页的四幅图有哪些图形？

2、引导学生把下面的图形，组合成多边形（展示台上拼）

对学生的拼出的图形，有选择地出示其中的几个。（如下所示）

 

 分别说出这些图形是由哪几个简单的图形组合而成。

师：怎样计算这些组合图形的面积呢？（板题）

二、组合图形面积的计算。

1．讨论计算上面拼成的组合图形的面积。（生板演其余每组完成一图）

订正，讨论第一图的两种方法。

  5×5+5×6÷2           [5+（5+6）]×5÷2

=25+15                  =16×5÷2

=40（平方厘米）         =40（平方厘米）

5m

m

2m

2．在实际生活中，有些图形也是由几个简单的图形组合而成的（出示例1题目及图）。

图表示的是一间房子侧面墙的形状。

它的面积是多少平方米？

5

如果不分割能直接算出这个图形的面积吗？（引导讨论横虚线的作用）怎样计算这个组合图形的面积呢？（讨论方法后，再打开书计算，同时指名板演）

5×5+5×2÷2

还能用其他的划分方法求出它, 的面积吗？(分组讨论)                                        

           汇报讨论结果。可能有下面情况。

[5+（2+5）]×（5÷2）÷2×2

小结：一个组合图形，可以用多种方法划分成几个已经学过的简单图形，再分别计算出这些图形的面积，求出组合图形的面积，但要注意分割图形时，应当考虑计算的方便，特别要有计算面积所必需的数据。（比如——图示，能容易找出所需的数据吗？）

三、巩固初步

1．做一做/书93页

2．练习十八/第1题

3．练习十八/第2题

（1）由中队旗引入

 

（2）算出它的面积。（单位：厘米）——可能有下面几种情况

               S总=S梯×2               S总=S长—S三

 

 

 

5．练习十八/第3、4题

四、拓展练习