卡诺图

卡诺图是逻辑函数的图形表示。利用卡诺图可以简化逻辑函数。

卡诺图的构成
卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n，则最小项的数目为http://www.elecfans.com/article/UploadPic/2008-9/200892712365956681.jpg  ，第二行表示A；第一列表示 http://www.elecfans.com/article/UploadPic/2008-9/200892712373011319.jpg  ，第二列表示B。这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。

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三变量卡诺图 

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三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格； 
AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个； 原变量与非变量各占4格。

四变量卡诺图

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• 四变量卡诺图由16个最小项m₀—m₁₅组成，每个最小项占一个方格；
• 纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；
• 原变量与非变量各占8格

  卡诺图的有用组合

  卡诺图二方格相邻组合

  几何相邻的两个最小项是逻辑相邻的（两个最小项中只有一个变量不同）； 
  有些方格几何上不相邻，但逻辑上却是相邻的； 
  任何两个最小项可以合并成最小项，且可减少一个变量。 
  【例3】四方格卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)

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  第一种组合方式：

  	_ _
  m8+m12=	A C D	（几何相邻）
  	_ _
  m2+m3=	A B C	（几何相邻）
  	_   _
  m2+m10=	B C D	（几何不相邻，逻辑相邻）

      第二种组合方式：

  	_ _
  m8+m12=	A C D
  	_ _
  m2+m3=	A B C
  	_ _
  m8+m10=	A B D	（几何不相邻，逻辑相邻）

  　

  F(A,B,C,D)	=∑m(2,3,8,10,12)
  	_ _   _ _     _   _
  	=A C D + A B C + B C D
  	_ _   _ _       _ _
  	=A C D + A B C + A B D

  两种表达式虽然形式不同，但逻辑上是等价的。另外，m₂、m₈重复使用是允许的。

  卡诺图四方格相邻组合

  四方格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。

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  图(a)中，

  	_
  F(A,B,C,D)=∑m(1,3,5,7)=	AD

      图(b)中，

  	_
  F(A,B,C,D)=∑m(1,5,9,13)=	CD

      图(c)中，

  F(A,B,C,D)=∑m(0,2,8,10)=	？

      图(d)中，

  F(A,B,C,D)=∑m(4,6,12,14)=	？

  卡诺图八方格相邻组合

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  图（a)中，F（A，B，C，D）=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7）=Ã
      图（b)中，F（A，B，C，D）=∑m(0，4，12，8，2，6，14，10)=？

  用卡诺图简化逻辑函数

  简化规则
  必须使每个方格（最小项）至少被包含一次； 
  使每个组合包含尽可能多的方格； 
  所有的方格包含在尽可能少的不同组合中。

  简化步骤

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  逻辑函数未用最小项表示的简化
  逻辑函数未用最小项表示照样可以化简。如果F采用与—或表达式，在填入卡诺图过程中就能把函数展开成最小项。
  具有无关项的化简
  无关项又叫任意项，是一种最小项，其值可以取0或1。利用无关项这一特点，可以使函数简化。

• 用卡诺图化简逻辑函数的步骤
  如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图 
  如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。 
  合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈 
  尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
  圈的个数尽量少。 
  卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 
  在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。 
  写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。 
  在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。
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