下图是一个BPSK系统，在[0,Tb]时间内，如果发送端要传“1”，就发送s1(t)=Acos(2*pi*fc*t)；如果要传“0”，就发送s2(t)=-s1(t)http://s4/middle/72dcd189x9c85fa980103&690&690

接收端是一个相关器，其输出是接收信号r(t)与g(t)的相关值。g(t)是一个正弦脉冲，是cos(2*pi*fc*t)在[0,Tb]内的部分。g(t)的能量是Eg=Tb/2。

相关器的输出z由两部分构成：z=a+n，a是发送信号si(t)的贡献，n是白噪声的贡献。

n是零均值的高斯随机变量，其方差是N0/2*Eg=N0*Tb/4。

a与发送的是1还是0有关。假设发送s1(t)，输出是s1(t)和g(t)=s1(t)/A的相关，s1(t)和s1(t)的相关是其能量，为A^2Tb/2，因此发送s1(t)时，a=A*Tb/2

a是随机变量，其随机性来自发送数据的随机性。在给定条件为“发送s1(t)”时，a就是给定的值。此时z=A*Tb/2+n是均值为A*Tb/2，方差为N0*Tb/4的高斯随机变量，它的概率密度函数为

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发送“1”或“0”对应的z都是高斯随机变量，只是均值不同，前者是正A*Tb/2，后者是负A*Tb/2。如果判决器是一个极性检测器件，判决规则就应该是正对应“1”，负对应“0”。 当然，如果已知发送数据“1”“0”的出现概率，极性检测未必最好。但如果1、0出现机会均等，那么从对称性方面来看，极性检测（即设置门限为0）是最合理的，因为一切都是对称的，最优解也应该是对称的。

发送s1条件下的判决错误概率就是发s1条件下，z为负值的概率,其值等于f1(z)在左半平面的面积，即在区间[-int,0]上的积分。也可以这样做：z为负值的概率就是A*Tb/2+n<0的概率，就是n<-A*Tb/2的概率，就是n>A*Tb/2

的概率，就是n/sqrt(s)>(A*Tb/2)/sqrt(s)的概率，其中s=N0*Tb/4是n的方差。

注意到对于标准正态高斯N(0,1)，其大于x的概率是Q(x)，因此发送s1时的判决错误概率就是:

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由于对称性，发送“0”（即发送s2）条件下的错误率也等于p1，这样，平均的错误率也等于p1