矩阵可视作一种变换，也可视作向量在空间中的静态位置关系。

上图中的矩阵A_m×n如果从后者的角度出发，可有如下两种解释。

①     以列向量考虑，可视作n个m维向量在m维空间内的静态位置关系。

即3个2维向量在2维空间中存在，如上图右侧坐标，3个向量在2维坐标系内共线。

②     以行向量考虑，可视作m个n维向量在n维空间内的静态位置关系。

即2个3维向量在3维空间中存在，如上图左侧坐标，2个向量在3维坐标系内共线。

注意：不论从行列出发考虑，几个向量所张成的空间都是1维的（沿红色箭头），因为共线。

      这也说明矩阵不论转置与否，秩（rank）是不会随之改变的。

当A作为系数矩阵时，线性方程组的解是什么呢？

先看齐次时，即AX=O

①     从最直观的空间约束考虑，是3维空间内2个平面的关系。

由于2个平面均过坐标原点，没有截距，不好直观把握，但通过两行成比例，

可得知2个平面重合，故解为无穷多，且就是这2个平面重合所在的这个平面。

②     从列向量考虑，是要找到一组3个未知数，让列向量的合成向量为0，不太直观。

③     从行向量考虑，由于矩阵的乘法规则中，行列做内积，故可以理解为在行向量所在

的3维空间内，寻找过原点且与这2个向量同时不做功（⊥）的向量的全集。

由于这2个向量共线，故此全集应该为一平面，且包含0向量。如图左侧灰色平面。

（同理对于矩阵A^T，其对应全集为一条过原点直线，如图右侧灰色箭头直线。）

以上，得到的解的全集，称为AX=O的解空间。

由于解空间是子空间，对加法与数乘封闭，故可以找到一组基来表示，也叫基础解系。

齐次线性方程均过坐标原点，所以平行就只能重合，故AX=O总有解。

要么是零解（rank=n），要么是无穷多解（rank＜n）。

零解：2条直线仅在原点处相交，3个平面仅在原点处交汇。

无穷多解：2条直线重合，3个平面其中某2个重合、3个重合、于一条直线处交汇。

再看非齐次时，即AX=b

由于存在非零偏移量b，便多了平行的可能性，导致无解。

此时将A_m×n看做一般矩阵，先探讨秩（rank）与m和n的关系。

①     r（A）≠ r（A | b）无解

即A的空间张成维度 ≠ （A | b）的空间张成维度

说明向量b不在A张成的向量空间内，因此找不出一组未知数用A的基构造b。

②     r（A）= r（A | b）= n 有唯一解

r（A）= n 说明AX=O只有零解，由于b只起平行偏移的作用，

故仅在原点处交汇变为仅在不同于原点的某点处交汇。

或从矩阵是一种变换的角度考虑，|A |≠0，变换不会丢失信息。故像b必有唯一原像X。

③     r（A）= r（A | b）＜n 有无穷多解

   r（A）＜n 说明AX=O有无穷多解，由于b只起平行偏移的作用，

   故如果b选取的恰当，可保持无穷多解，避免出现无解。但对b的选取不太直观。

   或从矩阵是一种变换的角度考虑，|A |=0，说明进行了某种从高维度向低维度的投影变换，

   由于r（A）= r（A | b），说明b在A张成的向量空间内，则只要满足投影法则生成像b

的原像X均是解，因为X所在维度高于A，故至少多出1个自由度无法被A约束。

以上，得到的不过原点的解，即为AX=b的全部解，也叫通解。注意它不是子空间。

可以理解为在AX=O的解空间的基础上，平行偏移了一个位置所得。

故非齐次线性方程组的解由AX=b的某一特解与其导出组AX=O的基础解析所矢量合成。

图中所示A将3维空间内的立方体，投影为2维空间内的一条直线。

左侧灰色平面所在空间为AX=O的解，立方体与此平面有交集的部分都将被压缩至原点。

类推地，平面沿红色箭头平移所扫描的立方体各断面，均将收缩至与红色箭头的交点处。