总结——01背包问题（动态规划算法）_长春点通计算机学校

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总结——01背包问题（动态规划算法）

(2019-02-12 19:54:20)

标签：

365

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：声明一个大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

由此可以得到状态转移方程：

if(j>=w[i])

m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);

else

m[i][j]=m[i-1][j];

#include

using namespace std;

const int N=15;

int main()

{

int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};

int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};

int m[N][N];

int n=6,c=12;

memset(m,0,sizeof(m));

for(int i=1;i<=n;i++)

{

for(int j=1;j<=c;j++)

{

if(j>=w[i])

m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);

else

m[i][j]=m[i-1][j];

}

for(int i=1;i<=n;i++)

{

for(int j=1;j<=c;j++)

{

cout<<m[i][j]<<' ';

}

cout<<endl;

}

return 0;

}

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