固体物理 第四章_ 晶格振动

爱因斯坦（ 1879-1955 ）对实验和技术物理学 的影响（1905-2005） 为纪念爱因斯坦奇迹年100周年，联合国 大会宣布将2005年定为世界物理年。 爱因斯坦对物理学的贡献： 1.揭开了原子世界的帷幕； 2.光子学的创建及其发展； 3.质能关系的利用； 4.将量子论引入了固体物理。 1 1.揭开了原子世界的帷幕 爱因斯坦早年从事分子运动论和统计力学的科学背景： 19世纪初，化学家道尔顿提出了原子论。19世纪中后 叶，麦克斯韦提出了分子运动的速度分布律；玻耳兹 曼则提出了玻耳兹曼方程。 1905年5月爱因斯坦发表了题为《热的分子运动论所 要求的静液体中悬浮粒子的运动》著名论文。描述了 要求的静液体中悬浮粒子的运动》著名论文 描述了 布朗粒子无规行走的规律。 1908年，法国科学家贝兰用显微镜对大量等径的布朗 运动粒子进行了实测，定出阿伏加德罗常数，给出原 子-分子存在的确实无疑的证据。 20世纪，研究重点即在于对微观世界的探索：原子， 原子核，基本粒子，并从微观的角度来研究固体物理 固体物理第四章 和分子物理。 2.光子学的创建及其发展 1905年，爱因斯坦发表《关于光的产生和转化的一 个启发性的观点》的论文，提出了光量子（光子） 的概念，将光子实体化，认为光的吸收和发射均是 以能量为 h? 的光子为单元来进行。 1916年，爱因斯坦在《论辐射的量子理论》的论文 中，阐述了光的受激发射的概念。光的受激发射分 两种情况：其一是发射光子动量的方向是随机的， 这就是自发发射；其二是发射光子的动量方向和吸 收的光子相同，即为受激发射。 20世纪50年代，汤斯实现了微波的受激发射。到 1958年，他又和夏洛一起提出利用法布里-佩洛干涉 仪作为谐振腔来实现光受激发射的建议。随后， 1960年梅曼制造出第一台红宝石激光器。 固体物理第四章 3.质能关系的利用 爱因斯坦在1905年发表《论动体的电动力学》和 《物体的惯性同它所含能量有关吗？》两篇文章， 其中包含了狭义相对论基本轮廓和由之引伸出来的 质能关系。 狭义相对论对牛顿力学进行了重要的修正，体现在 所推导出来的质能关系中。 质能关系包含两点：一是物体的质量是和运动的速 2 度有关的，即： m ' ? m / 1 ? ?v / c ? 二是物体的静止质量可以与能量互相转换，即 E ? mc 2 固体物理第四章 4.将量子论引入了固体物理 长期以来，基于能量均分定理的经典理论解 释不了“固 体 的 比 热 在 低 温 下 显 著 下 降， 到 T ? 0 ，比热也趋于零”的现象。 1907年，爱因斯坦发表题为《普朗克的辐射 1907年 爱因斯坦发表题为《普朗克的辐射 理论和比热理论》的论文，将量子理论应用 零于固体比热的问题上，取得比热数值随温 度下降而减少，并当 T ? 0 亦趋于的结果。 固体物理第四章 爱因斯坦：独立振子模型 德拜：将独立振子模型进行了改进 玻恩与冯卡门 ：晶格振动模型 固体电子论取得重大突破：自由电子论、 能带理论 固体物理第四章 1 第四章 晶格振动(vibration of lattice)与晶体 的热学性质(thermal properties) 前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原子固定在 格点上不动。其实，不管是气体、液体或是固体， 在一定温度下，原子（或分子）都在做不停的热 运动。 运动 静止晶格的模型在解释金属主要由导电电子决定的 平衡态性质和输运性质方面相当成功，但是对金 属进一步的了解以及对绝缘体哪怕是最基本的了 解都需要对离子实的运动加以考虑。 固体物理第四章 举例：在理想周期势中运动的电子不受散射，相应 的电导和热导趋于无穷，实际上，离子实围绕其 平衡位置的热振动导致晶格对理想周期性的偏离 是金属中电子所受散射的主要来源。 如果不考虑晶格振动，将无法解释绝缘体丰富多彩 的物理性质。 固体中原子的振动受到原子之间的相互约束，每个 原子的运动不是独立的，晶格振动反映了这种运 动的集体性，其热学性质就是由这种晶格振动所 决定的。晶格振动的研究，最早是从晶体热学性 质开始的，热运动在宏观性质上最直接的表现就 固体物理第四章 是热容量。 经典物理学认为，固体中的原子只是在平衡位置附 近振动，固体的原子类似于有三个自由度的三维 谐振子，根据能量均分定律，每个自由度平均能 量为kT，kT/2为动能，kT/2为势能,一克原子的总 能量为E=6?N?kT/2，N为阿伏加德罗常数。 因此原子比热(摩尔热容)为Cv=dE/dT=3Nk 这是把 =dE/dT=3Nk。这是把 热容量和原子振动具体联系起来的一个重要成就。 原子比热的这一表达式是完全由经典理论推导出来 的，与温度无关。杜隆和柏蒂证明，所有固体物 质的原子比热都是相同的，常温下，这个定律对 许多物质都是成立的，等于24.9Jmol-1K-1。 固体物理第四章 例外：硼、硅和金刚石，室温下的原子比热分别为 14.0 Jmol-1K-1，20.7 Jmol-1K-1，6.1 Jmol-1K-1。 当有可能在很宽的温度范围内测量固体比热的变化 时，经典物理的不足之处就得到进一步证实。对 这些物质曾进行大量的研究，发现所有固体的比 热在足够低的温度下，随温度急剧减小，而且所 有曲线都具有相同的形式，适当地调整温度坐标 有曲线都具有相同的形式 适当地调整温度坐标 即可使这些曲线完全重合。 为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克的量子 假说，第一次提出了量子热容量理论，得出热容 量在低温范围下降，并在T?0时趋于0的结论，这 项在量子理论发展中占有重要地位的成就，从而 推动了对晶体原子振动进行具体的研究。 固体物理第四章 求解整个体系的薛定谔方程的困难来源于离子实间的 相互作用，使之彼此关联。 利用离子实对平衡位置的瞬时偏离很小，将离子实之 间的相互作用能对这种偏离作级数展开，只保留第 一个非零项（2次项），这种做法称为简谐近似 （harmonic approximation）。由于简谐近似下的小 振动，作为经典力学问题可有精确解。 振动 作为经典力学问题可有精确解 量子力学的处理相当于这种经典运动模式能量的量子 化。在对简谐晶体的量子力学处理中，引进简正坐 标将多体问题化为单体问题，建立了声子（phonon） 的概念。在此基础上讨论了晶格系统的平衡态性 质——晶格比热以及相关的近似模型。 固体物理第四章 离子实相互作用势对瞬时位移展开式中的高次项 称为非简谐项。在简谐晶体的基础上，将讨论 非简谐项带来的物理效应。主要涉及晶体的热 膨胀和热导率。 在本章会用到倒格子、布里渊区等概念，因为所 面对的是在周期性体系中传播的波。 面对的是在周期性体系中传播的波 4-1 一维晶格振动 在前面的章节中假定晶体中离子实不动，并有周 期性的规则排列，其结构用布拉菲格子加基元 来描述。本章将采用更实际的物理图像： 固体物理第四章 2 1.仍然假定晶体中的离子实可用布拉菲格子的格 矢Rn标记，但将Rn理解为离子实平均的平衡位 置。原因是尽管离子实不再静止，但对晶体结 构的实验观察表明，布拉菲格子依然存在。 2离子实围绕其平衡位置做小的振动，其瞬时位 置对平衡位置的偏离远小于离子间距。 实际晶体是原子有规则地在三维（三个方向）排 列的结果。处理这种三维晶格振动，用数学方 法较为繁琐，但是三维情形的许多重要结果与 一维是一致的，因此为了着重介绍基本概念， 我们先讨论一维原子链的振动。 固体物理第四章 经典简谐振动回顾 根据牛顿第二定律： dp dV ? ?? , p ? mx dt dx K 1 ? ?? ? ?? 2 x, ? ? ( ) 2 x m 2? x ? xmax cos(?t ? ? ), ? ? x ? kx ? 其中： xmax ? amplitude, (?t ? ? ) ? phase, Total energy ? 固体物理第四章 1 2 Kxmax 2 一维连续介质的波动方程 当振动产生于连续介质中时，振动不再是独立的，而 是相互关联的，结果就是形成弹性波。 考虑一维棒的纵向振动，设在x处的弹性位移为u(x，t)， 则应变e=du(x)/dx，又设应力为S，则S=Y e；其中Y为 杨氏模量。从牛顿第二定律，可得到波动方程： 求解需要给出边界条件和初始条 件，如两端固定的边界条件得出 驻波(standing wave)解；对于足 够长的棒，不考虑边界，以行波 (traveling wave) 作试探解。 色散概念来自光学，不同频率的光在同一介 质中的传播速度不同，于是产生色散，频率 与波矢之间的关系叫色散关系，斜率为波速。 固体物理第四章 一、单原子链的振动(vibration of monatomic lattices) 1. 运动方程(equation of motion) 固体是由大量原子组成的，每个原子又可分 成离子实和价电子两部分。离子与离子，离 成离子实和价电子两部分 离子与离子 离 子与电子，电子与电子之间存在相互作用， 这是复杂的多体系统。 近似处理: A绝热近似 固体物理第四章 ? 2u ? ? 2u ? ?0 ?x2 Y ?x2 u ? Ae ? i (?t ? qx ) ? ? vs q, vs ? Y / ? 离子实的运动和电子的运动是彼此影响的， 离子实比电子重103-105 倍，离子的运动速 度比电子小得多，考虑电子运动的时候， 可以认为离子实是固定不变的，在考虑离 子实的运动时，可近似认为电子能很快适 应离子实的位置变化。 把离子实和电子的运动分开，这称为绝热 近似。在绝热近似下我们能单独处理离子 实的运动问题，离子实的运动可以看成是 中性原子的运动。固体物理第四章 B简谐近似 分子中的原子在振动过程中，当原子相隔较远时存在 吸引力，距离相距很近时，发生斥力。互作用力为零 的原子间距代表处平衡位置。 图(a)表示出各原子处于平衡位置，每个原子具有相同 的质量m，平衡时原子间距为a，由于热运动各原子离 开它的平衡位置，用xn代表第n个原子离开平衡位置的 位移。 固体物理第四章 3 设平衡时，两原子间互作用势能为U(a)， 令 ? =xn+1-xn ，产生相对位移后，相互作 用能变为U(a+?)，考虑小振动问题，用 泰勒级数展开得： U (a ? ? ) ? U (a ) ? 1 d 2U dU ? ? ( 2 )a ? 2 ? ? 2 dr dr a 势能函数保留至二次项称为简谐近似，处理小振动 问题一般都取简谐振动，有些物理问题需要考虑高 阶项作用，称为非谐作用，需要同实验判断。 各个原子都与它们的近邻原子相互作用，各原子振 动不是孤立、互不相关的。关联的结果使得振动表 现为一种行波（前进波），而且允许的频率不只是 一个。 F ?? dU d 2U ? ?( 2 ) a ? ? ? ?? , dr d? 固体物理第四章 ? ?( d 2U )a dr 2 固体物理第四章 与其相距第p个原子与第n个原子间的距离和平衡 时相差了xn+p-xn，考虑简谐近似，第n个原子受 到相距第p个原子的作用力为Cp(xn+p-xn)，Cp 代 表该两原子互作用力常数。 由于各原子的性质相同，因此力常数只与两原子 相隔距离有关，而与n是指那 个原子无关。 相隔距离有关 而与n是指那一个原子无关 又由于Cp=C-p ，则把各个原子对第n个原子的 总作用力加起来，便是第n个原子所受的力： Fn ? ? C p ( x n ? p ? x n ) p ? ? 2 m ? ? C p ( e ipqa ? 1) ? 2 m ? ? ? C p ( 2 ? 2 cos( pqa )) p ?0 p ?0 当?满足上式时，试解就是所求的解答。 实际上，为了简化问题，通常只考虑相邻原子的 相互作用，则第n个原子所受的总作用力是 Fn ? ? ( x n ?1 ? x n ) ? ? ( xn ?1 ? x n ) ? ? ( x n ?1 ? x n ?1 ? 2 xn ) 第n个原子的运动方程可写成： 第 个原子的运动方程可写成 m 2 dxn ? ? ( xn ?1 ? x n ?1 ? 2 x n ) dt 2 m 为了得到微分方程组的稳定解设试探解为： x n ? Ae i?t ?iqna 固体物理第四章 2 dx n ? ? C p ( xn? p ? xn ) dt 2 p 求解运动方程更一般的方法是通过拉格朗日方程， 由分析力学的一般方法，由动能和势能可直接写出 拉格朗日函数L=T-V 固体物理第四章 V? ? 2 ? (x n n ? xn ?1 ) 2 L? ? m ? ? xn2 ? 2 2 n ?(x n n ? xn ?1 ) 2 讨论： （1）在连续介质中传播的平面波方程为Aei(?tkx) ，x可以取任意值，格波只能取格点的位置 na。一个格波解表示所有原子同时做频率为 ? 的振动，不同原子之间有位相差，相邻原 子间的位相差为aq。 （2）第n个原子与第n?个原子位相差qn?a-qna为 2?整数倍时，也即两原子空间位置之差n?a-na 为2?/q的整数倍时，xn=xn’，原子振动位移相 等。 固体物理第四章 ?L d ?L ( )? ?0 ? ?x n dt ?x n 对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，可以用来描 述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日 方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。 2. 2 格波的解 i?t ?iqna 对简谐振动，它的解可能写为，x n ? Ae 表示前进的平面波，也就是说，各原子在平衡位置附近 振动时是以前进波的形式在晶体中传播的，这种波称为 格波(lattice wave)。qna表示第n个原子振动的位相因子， 相邻原子位相差为: ( n ? 1) qa ? nqa ? aq 固体物理第四章 4 （3）假设q改变2?/a的整数倍时，则xn不变，即所 有原子的振动实际上没有任何不同。 两个波形不同，区别在于原子之间的、没有 物理意义的空间曲线部分，而有物理意义的、 各原子的位移情况是完全一样的。 与连续介质波不同的根源在于原子的分布是 离散和周期的。 为 保 证 xn 是 q 的 单 值 函 数 ， 将 q 限 制 在 ： ?/a