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离散外微分中的向量恒等式

外微分理论主要研究的是流形上的微积分,是微分学中的一个重要组成部分。它在20世纪有了长足的发展,被广泛应用于电磁学、流体力学等领域。随着计算机的产生和计算机科学的发展,大多数连续问题都需要离散化处理。在这个环境下,离散外微分理论应运而生。同其他离散化方法相比,离散外微分理论可以保持连续问题的拓扑和几何特征,因此离散外微分作为一个数学和计算工具已经在很多领域显示了巨大的潜力。由于离散网格和连续流形的本质区别,并不存在某种离散格式能够满足连续格式全部的性质。因此针对不同的研究需求,所选用的离散格式也应该有所不同。本文对现有的离散格式进行了分析,借助连续理论中的一些性质,提出了散度算子、旋度算子、梯度算子等算子的一种新的离散方式,并验证了这些离散算子可以像连续算子一样满足一些基本的向量恒等式。这对网格处理、向量场编辑等工作打下了良好的理论基础。

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 白承铭 (南开数学研究所 天津 300071) 2001年 10月 11日下午 ,南开数学研究所大讲演厅内座无虚席 ,世界著名数学家陈省身先生 要给大家来上基础课了 . 4时整 ,我们尊敬的陈先生不顾已经九十高龄 ,坐着轮椅准时来到讲演厅 , 开始给大家讲授《微积分及其应用》的第一讲. 这次活动是在陈先生本人倡导下 ,由南开大学、天津大学“刘徽应用数学中心”举办的《应用数 学》系列课程的第一门课程 ,并由陈先生亲自主讲.陈先生要给大学本科生上基础课的消息传开后 , 不仅在南开大学和天津大学 ,而且在整个天津地区的高校都产生了很大的震动 ,许多学校的学生甚 至很多教师纷纷要求听课.但是由于演讲厅条件所限 ,所以只能采取限制名额的办法 ,最终听众是 以南开大学和天津大学两校的大二 ,大三学生为主 ,并有少量天津市其他高校的学生和青年教师. 即使这样 ,每次仍然有很多没有报上名的学生站在过道和走廊里听陈先生的演讲 ,大家的热情可见 一斑.同时 ,陈先生的报告也吸引了很多教师参加 ,甚至还有在南开大学访问的外籍学者 ,如美国 Brow n大学的 Bw uno Harris教授就一次不落地听完了全部演讲 . 陈先生曾经计划讲《微积分及其应用》八次 ,但是期间因身体不适住院两周 ,到 11月 30日的最 后一次 ( 12月初已经先期安排了其他课程 ) ,共讲了六次.陈先生在住院期间仍然念念不忘他的课 程和学生 ,他一出院 ,就赶快备课并准时出现在讲台上 ,他的这种敬业精神使所有人都非常感动 ,并 且也给年轻人树立了良好的榜样 .大师给学生们上基础课 ,不仅仅为学生们带去了对基础知识更为 深刻的理解 ,更为我们的大学教育带来了新鲜风气 ,教师们也从中学到如何真正地为人师表 . 微积分课程本身作为大学生基础课并不是很难 ,难的是如何看待微积分里众多的命题和定理 , 以及为什么要有它们.想弄懂这些 ,就必须站在一定的高度来观察分析 ,这不仅要对微积分本身有 很深的理解 ,还需要对更深一步的知识有很好的把握 ,陈先生就是这样的一位数学老师.陈先生讲 得深入浅出 ,引人入胜 ,他用非常简洁的语言 ,形象的说明给大家讲授了微积分学的基本定理以及 在微分几何上的应用.同时他那严谨却不枯燥、风趣中又一丝不苟的讲课风格 ,更告诉我们数学大 师是如何授课的.听过陈先生课的人 ,都领悟到他在谈笑风生之间已经将深奥的数学知识中精辟的 传授给了大家 .所有人都感到获益匪浅 ,这可以从听课的学生们交上来的读书报告中清楚地看出 来.有学生说: “大师就是大师 ,讲得就是好” ,“很通俗 ,很好懂” . 为了使更多的人能够了解陈先生演讲的内容 ,我作为陈先生的助教 ,根据陈先生演讲录音进行 了整理 ,在下面简要地作一介绍.由于本人水平有限 ,错误在所难免 ,仅供大家参考 .陈先生认为“微 积分的范围很广” ,因为时间关系 ,这个课程“只能讲个大概 ,尤其是介绍整个的有一些意义的问 题” .“应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展了 .可以说 ,微积分向前发展大概 有两个最重要的方面: 一个是在几何的应用” ,另一个是复数.陈先生着重讲的是微积分学的基本定 理以及在微分几何上的应用 .他的演讲主要包括“微分和积分” ( 1讲 ) ,“指数与对数函数” ( 1讲 ) , 2 高等数学研究 S TUDIES IN CO LLEGE M AT HEM ATIC S Vo l. 5, No. 4 Dec. , 2002 收稿日期: 2002— 07— 11. “曲线论” ( 1讲 )和“曲面论与 Gauss- Bonnet公式” ( 3讲 ).以下介绍的第一讲“微分和积分” ,是陈 先生演讲的记录稿 . 微分与积分 (Ⅰ )微积分的起源: 牛顿与莱布尼兹 讲到微积分 ,最要紧的两个人是牛顿 ( Issac New to n, 1642— 1727)跟莱布尼兹 ( Go ttpied Leibniz, 1646— 1716) ,微积分就是他们发现的 .关于牛顿 ,有兴趣的是他做这个工作是在学生的时 候 ,也许比你们的岁数还要小 ,那个时候 ,也就是 17世纪那个时候 ,欧洲瘟疫很厉害 ,欧洲死了很多 人.他在英国剑桥大学 ,因为瘟疫的关系 ,学校放假了 ,他就回家在家里做关于微积分的这些工作. 莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人 ,数学是他的兴趣的一部分 ,他的兴趣到宗教、法律各方面 都有.他们两人之间有点争论 ,是因为争论谁是微积分的发现者.这个争论是不幸的 ,也没有什么意 义.实质上是莱布尼兹头一个发表关于微积分论文的人 ,他的论文在 1684年发表.牛顿做这个工作 早于莱布尼兹.而莱布尼兹发表论文早于牛顿 ,牛顿有了这个工作后没有发表什么任何的东西.而 莱布尼兹不但发表了这些东西 ,同时还引用了一些符号 ,也许我们现在还在用.那么后来两个人有 一个争论 ,大概都是跟数学没有关系的人在那里造成的情况 ,这不是一个什么有意思的事情 . (Ⅱ )微积分基本定理 微积分是数学里头很重要的方面 ,至于什么是微积分呢?我想微分的发现跟笛卡儿发现坐标非 常有关系 ,因为笛卡儿发现坐标之后 ,数学主要的目的就是研究函数 ,研究两组数的关系 ,有种种的 关系.我们知道 ,函数有种种 ,有线性的 ,非线性的 ,三角函数等种种函数 ,那么要怎样地研究函数的 性质? 我们都知道 ,函数可以用曲线来表示 ,如 y= f ( x )这条曲线.在这条曲线的每点 ,如果它是可 以微分的话 ,那么它在每点有个切线 .微分就是把这个曲线用它的切线来研究它的性质.所以也等 于说它是把函数线性化 ,线性化之后 ,可以加、减、乘除 ,可以计算 ,因此可以得到数出来.数学要是 能够得到数出来 ,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质. 积分来得早了 ,因为积分实际上大致讲起来 ,它是要计算面积.那么假使平面上有一个区域 ,由 曲线来做为边界 ,它的面积有多大 ,圆周的面积有多大 ,这里的问题是积分的开始 ,也是积分重要的 目的.因此 ,实际上 ,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义 ,积分就是有个极限的观 念.曲线所围成的区域一般想法子用直线来逼近 ,使得逼近的曲线趋于你的边界的时候 ,就有个极 限 ,就是这个区域的面积.所以 ,总而言之 ,积分的发展在微分之前 ,中间这两个问题好象没有关系 , 但是其实这关系非常的密切 .积分差不多是微分的反运算.比方说 ,假使你求这条直线跟两条垂线 所成区域的面积 ,这两条垂线 ,一个是 s = a ,一个是 s = x ,你要去算这个区域的面积 ,是个定积分 ∫ x a f (x )d x , (读作 f (x ) 定积分从 a→ x ) .这是当年莱布尼兹的符号 ,这个积分的符号记成这样 ,因 为积分总是代表一个和∫, 代表和 ( sum).假设面积一边由 s = a的直线作边界 ,另一边是任意的 x , 你把 x 这条直线移动的话 ,就得到一个 x的函数 ,这个函数 ,我叫它 A( x ) ,就是我图上的面积 (图从 略 ) ,是个积分 ,所以它是一个数目 ,与 x有关 ,所以是 x的函数.这个函数跟曲线方程 y = f (x )这个 函数有密切关系.为什么有密切的关系呢?很简单地看看 ,假如求 A (x ) =∫ x a f (x )d x 的微分 ,求它 的微分嘛 ,就是说 ,求 s = x , x + Wx所围成的这个小区域的面积.现在如果你拿Wx 除的话 ,我想很 容易看出来了 ,这个极限就是 f( x ).所以很容易看出来 A( x ) 这个函数的微分就是 f (x ) ,因此 d A (x ) dx = f ( x ). ( 1. 1) 第 5卷第 4期 白承铭: 数学大师的风采 3 这就是微分同积分的基本的关系 .这个关系说 A( x )是一个积分 ,求它的微分时候 ,就得 f (x ) .这个 一般地 ,叫做微积分的基本定理 .我从前在南开念微积分的时候 ,始终不懂为什么这是一个微积分 的基本定理 ,因为一般地把这个关系式写成 ∫f ( x )dx|b a =∫ b a f (x ) dx ( 1. 2) 形状.左边积分是个不定积分 (indefinite integ ral) ,不定积分是个函数 ,左式是函数在 b的值减去函 数在 a的值 ,等于这个定积分 ( definite integ ral) .所以从这个关系知道要求积分的话 ,只需要求一 个函数 ,它的微分是已知的 ,就是 f (x ) ,即微分是已知的 .所以这样微分跟积分连起来了 .互相的 , 积分等于微分的反运算 ,有了 f (x ) ,要找一个函数 ,它的微分等于 f (x ) ,是个反运算 .因此微、积分 有密切的关系 . (Ⅲ )多元微积分 上面讲的是一个变数的微积分.下面要讲高维的 ,多变数的 .多变数的话 ,有新的现象 ,是什么 样的呢? 我想对于多变数的 ,我们先不看别的 ,先看两个变数的情形 , x 跟 y ,那么我们知道这个时 候微分的观念的推广是偏微分 ,等于 x 跟 y 分开求微分.积分的观念推广是重积分.二重积分 ( do uble integ ral)是在 2维的情形 ,在高维的情形是多重的.先看 2维 , 2维的情形就有了区域 ,我 们叫它 Δ,那么它的边界叫它 V.所以积分的一个自然推广是一个 2重积分 ,普通积分把 x 分成小 段 ,然后取小段再乘上这个函数 ,求一个和.在 2重积分的时候 ,方法也是把区域分成小块 ,然后取 每一小块的面积 ,在其上函数值乘上它的面积 ,然后求它的和.很不得了的 ,假使函数好的话 ,无论 你如何圈你的区域 ,极限是一样的 ,所以这极限就是 2重积分 I =∫∫f (x , y ) dx dy . ( 1. 3) 在 2 维的时候 ,甚至高维的时候 ,一个重要的现象是 ,我们现在有 2个变数 x , y ,换变数怎么 样? 所以我现在换变数 ,换变数当然是在微积分里是很重要的一个办法 ,因为很多的问题是看你的 变数是否选择得当 ,有时换变数 ,问题就立刻简单化了 ,就可以解决了.现在我换变数: x = x ( x′, y′) y = y (x′, y′) ( 1. 4) 其中 , (x′, y′)是另外一组坐标.我们发现一个事实 ,在高维的时候 ,微分的乘法 ,我们写成 dx∧ dy , 这是一个乘法 ,怎么乘呢? d x∧ dy在微积分上是最微妙的观点 .什么叫微分? 什么是 dx? 这个是困 扰了数学家几百年的事 .怎么样定微分的定义跟究竟什么是 dx ,这个很麻烦 ,可以做到很满意 ,不 过把它讲清楚需要有一定的时间.所以我马马虎虎说有一个 dx .在 dx , dy这种微分之间要建立乘 法∧ .什么叫 dx∧ dy? 这个问题更复杂了 ,你如果 d x , dy本身是什么都不清楚 ,乘了以后是什么东 西更是一个很微妙困难的问题.在这方面有一个大的进步 ,就是引进外代数和外微分.假定 dx∧ dy 这个乘法是反对称 , dx ∧ dy = - d y∧ dx ( 1. 5) 这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话 ,当然 d x∧ d x= 0.事实上 ,因为 dx∧ dx= - dx∧ dx ,所以 d x∧ dx= 0.在反对称的乘法之下 ,把 dx∧ dy看成变数 ,因为乘法是反对称的 , dx 2 = 0,所以就没有高次的东西了.这样得到的代数叫做外代数.这个代数很妙的 .有一个立刻的结论: 换变数公式为 dx ∧ d y = ( x , y ) (x′, y′) dx′∧ d y′ ( 1. 6) 假使我们的微分用的是偏微分 ,所以 (下转第 8页 ) 4 高等数学研究 2002年 12月 数问题的需要 ,更重要的是它的几何背景的需要 . ( 5)加强几何变换和变换群理论的教学 . 空间的变换的概念在射影几何学中体现得最显著.射影几何学应该说起源于绘画和建筑学中 的透视学 ,是人类在观察世界时把 3维的物体用平面图形表示的经验和规律的总结.这里面蕴涵着 图形的变换理论.后来 ,欧拉首先注意到仿射变换的意义 .克莱因在 1872年提出了著名的“爱尔兰 根纲领” .他认为每一种几何都由一种变换群所刻画 ,每一种几何学要做的实际上就是寻求图形在 该变换群的作用下保持不变的性质 ,一个几何的子几何是在原变换群的子群作用下的不变量.例 如: 射影几何学 (射影变换群 )→仿射几何学 (仿射变换群 )→欧氏几何学 (刚体运动群 ) .在这里 ,箭 头所指的是前者的子几何.虽然并不是所有的几何学都能够纳入克莱因的分类方案之中 ,例如现代 的代数几何学和微分几何学 ,但是克莱因的观点给大部分几何学提供了一个系统的分类方法 ,而且 提示了许多可供研究的问题 .尤其是在当代 ,李群的理论已经广泛地用于几何学和物理学乃至工程 科学的研究.许多几何空间的结构都容许一定的变换群的作用 ,它们的变换理论是重要的研究课 题 ,这些问题的提出与克莱因的思想有关. 群及其子群的结构和分类是代数学中的问题 ,而几何学中的变换群为抽象的群论提供了重要 的例证 ,并且为群论的抽象研究提出不少课题.另外 ,几何变换理论与日常生活、生产、科研都有密 切的关系.因此 ,在学几何的时候 ,必须把几何变换理论作为重要的内容之一 . (未完 ,待续 ) (上接第 4页 ) dx = x x′dx′+ x y′d y′, d y = y x′dx′+ y y′d y′ ( 1. 7) 现在用外乘法一乘 , d x′∧ dx′= dy′∧ dy′= 0.而 dx′∧ d y′因为乘法是反对称的 ,所以是刚好 乘以 x = x ( x′, y′) , y = y ( x′, y′) 的雅可比 (x , y ) (x′, y′) ,这个符号是雅可比 ,是四个偏微分所成的行 列式 ,所以 dx ∧ d y = ( x , y ) (x′, y′) dx′∧ d y′ ( 1. 8) 这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系.我们知道重积分要是换变数的话 ,它应该乘上雅可比. 所以这个结论就是 ,对重积分的 Integ ral,即积分下的式子 ,把积分号丢掉 , Integral是一个微分多 项式 ,乘法是反对称的.所以假使多重积分有 3维 , 4维到 n维的空间 ,多重积分的 Integ ral可看成 是外代数的多项式 ,那么换变数就自然对了 .这里头有一点微妙的地方 ,因为通常 ,你要证明换变数 的公式的时候 ,假定雅可比是正的 ,不然的话 ,乘上雅可比的绝对值 ,使它是正的.这个是高维几何 微妙的东西 ,就是空间有个向 ( Orietaion) ,你转的时候 ,有 2个相反转的方向.转的时候 ,假使改了 方向的话 ,雅可比是负值 ,因此我们一个结论是多重积分的 Integ ra l应该是一个外代数多项式 ,是 dx , dy的多项式 ,乘法是反对称 ,这样换变数完全可以对的 ,当然我只做了 2维的例子.高维是很明 显的 ,同样的 .外乘法是妙得很呐 ,是不会有高次的 ,所以比较简单 ,平方一下 ,就是 0. (未完 ,待续 )