矩阵的行列式的几何意义是矩阵对应的线性变换前后的面积比。

不过话说回来，讲线性代数的书不一定会讲到这个几何意义，因为定义行列式几行就写完了，但是定义面积(体积)，尤其是高维空间的面积(体积)是一件相当麻烦的事情。
如果读者只读过线性代数，那么不妨这样直观感受一下行列式。而如果读者读过实变函数或者测度论，那么这个结论可以作为一道不错的习题。

最初是解线性方程组得到的。世界上有一种东西叫维基百科：行列式。
大概就是先暴力算出2元/3元一次方程组，然后发现定义行列式这种运算符可以把它们的解写得简洁而好记（虽然并不好算），也就是Cramer法则。
后来人们又发现了行列式的几何意义。

关于行列式，我知道三种等价定义：
一是用排列和逆序数定义（国内大多数教材上都用这种定义）；
二是用归一化（单位矩阵行列式为1）、多线性（当矩阵的某一列所有元素都扩大c倍时，相应行列式也扩大c倍。多的意思是对所有n个列都呈现线性性质）、反对称（交换两列行列式反号）来定义；
三是利用代数余子式和按第一行展开进行归纳定义；

我最喜欢的是第二个定义。行列式等于它的各个列对应的向量张成的平行2n面体的体积，这是因为行列式是一个交替多重线性形式，而我们通常理解的欧式空间中的体积也是这样一个函数（单位立方体体积为1，沿某条边扩大c倍体积就扩大c倍，交换两条边以后体积反号——这一条是补充定义的，我们认为体积是有向体积，其数值表示体积大小，正负号表示各条边的排列顺序或坐标轴手性），而满足归一性、多线性、反对称性的函数是唯一的，所以行列式的直观理解就是欧式空间中的有向体积。

用矩阵与线性变换的同构来解释也很好理解，行列式就是矩阵对应的线性变换对空间的拉伸程度的度量，或者说物体经过变换前后的体积比。特别地，如果矩阵不是满秩的，意味着一个https://ci6.googleusercontent.com/proxy/l_yAOXUH_O9V4vBOHJ57ElmPMZhpnZD633gDoCVdRDSTweyvJmNgo-d4CoTSJUmMbwQ7-WyudbE=s0-d-e1-ft#https://zhihu.com/equation?tex=n-1维的超平面甚至是维度更低的超直线，所以原来空间中的体积元在变换后体积为0，此时行列式也是0。多元函数积分作变量代换后要乘一个Jacobi行列式就是这个道理，表示变换前后的微元体积比。

https://ci3.googleusercontent.com/proxy/2giT_MYTNnCt5egO1Ds0ISITExJ2res8-2rspUlb-sAVhulW-4DQ92zfocG9L3pYCje_0mX4qx6jKrqPez-3rIC2KcpVjnREKq4YFfMxtQXG7Dg=s0-d-e1-ft#https://pic2.zhimg.com/353df42d993bbaf4bbd33c991c8a00ad_b.jpg
这例子描述的就是是行列式的几何直观的意义。
实际上一个n维方阵对应着n维欧式空间到自身的一个线性变换，而这个线性变换把欧式空间的体积元变成多少倍就是它的行列式，所以有正负的区别。
这也是为什么在做多元积分的变量代换时需要乘一个雅可比矩阵的行列式绝对值。

参考: Arnold 经典力学的数学方法第七章

从行列式的公理化定义出发容易看出来，这是一个从n阶矩阵到R的映射，满足三条性质(具体的学过应该知道)。但最重要的应该是在线性映射中的应用。
每一个线性映射都能用矩阵来表示，为了对应线性映射的复合，才有了现在的矩阵乘法，而在这个乘法下的行列式就成了这个样子。但是现行的很多教材上来就是行列式的计算，大家根本不知道这个是咋来的。。

《线性代数应该这样学》一书中类比了体积的概念。Hoffiman的《linear algebra》中把行列式定义为矩阵上的一个函数，然后规定函数的一些性质，最终导出了这个函数的具体形式。

行列式三个作用
1. 求逆用得到
2. 求线性方程组用得到
3. 求特征值和特征向量用得到
4. 求平行六面体的体积和平行四边形的面积

其中我认为要数第三个最有意义。因为高阶微分方程或一阶多变量方程组可以通过简单的转化，都变成一阶单变量微分方程！！也就是变成如下简单的形式
dy/dt=Ay
其中y是向量形式的变量，A是方阵，设其为n*n。它的解为：
https://ci6.googleusercontent.com/proxy/sVGxTt4It6zTMgbbpCSnSsIVpnRWgIkuIQN4Rz9j6Ftk6w5mziIyFxhMVKh1-v8VZR9K8bfski4xdGF8wb7x9Lrd1ddluXrzStkbijqsDnq774Q=s0-d-e1-ft#https://pic2.zhimg.com/376de4d68a39576197d8910f57d681c1_b.jpg
其中S的每列为A的n个特征向量，Λ为A对角化之后的方阵，它的对角线为A的n个特征值。
是不是相当简单！！

对于差分方程也同样道理，高阶的和多变量的，最终化成如下形式
y(n+1)=Ay(n)
其中y(n+1)和y(n)是向量形式的变量，A是方阵，设其为n*n。它的解为：
https://ci6.googleusercontent.com/proxy/XICMMCNzpRkbK2eRFRoFOiERUWtsceHP8f3g4l9mY-DadhR8WoMyhCScq4BvW58gjlOUat8EHgE3-lnq2KomPD40KEm8yQzx6HzPrEiIFdVTPvU=s0-d-e1-ft#https://pic3.zhimg.com/c3e0c23afe257acb5951f085278e223e_b.jpg

---------------------第二次补充------------------
评论中陈晓同学说我歪了，那我明确点地答
1. 在线代里从头用到尾的东西，到底代表着什么呢？
我个人认为它只是起辅助作用，辅助我们获得其他有意义的计算结果，如助我们得出最前面所说的四点的结果。
2. 有什么实际的物理意义？
直接的物理意义就是最前面的第四点
间接的物理意义我个人认为主要通过第三点得出，你想想世界上，基本上所有的物理系统，物理现象（不管是温度的变化，气压的变动，或者是天宫一号里面各个机械部件地运作）基本上都可以用微分方程来描述。还有电脑上，嵌入式系统的算法，优化也经常用差分方程来获得。当我们能通过第三点解出这些微分方程和差分方程，你说这些物理意义大不大？

最开始发明行列式的人还没理解到线性变换前后面积比的情况，他得到了这个式子，发现这个式子对解线性方程租很有用（当时来说很方便），于是他把这个式子取名determinant（“决定因素”）最初的意思是在解线性方程组过程中的决定性“参数”。后来有了线性代数后发现这个“参数”在解决很多线性代数很多其它问题里也有很大作用，再后来才明确了它在线性变换时的几何意义…然而我们用的时候其实只要理解到它是一个“参数”就够了，一次听北大的教授尤承业老师讲线代课时对我们学生说：“他说在我理解来，行列式在线代中的地位就是一个工具，关键在求法，没有必要花太多的篇章和精力去深讲”所以说，你只要把他当做矩阵的一个determinat就够了，深究太多没啥用。

可以用来算结构的稳定性计算

n维向量空间中，n个线性无关向量所张成的n维立方体的体积。

广义的是否成比例判断，如果行列式是零，就说明里面的向量存在成比例的。

据说最开始时从n=m的n元n组多项式方程的求解推出来的，求考证。

简单的说，就是一个n维线性空间上的n阶外形式。也叫体积元。n阶外形式是一个一维的线性空间，行列式是它的一个生成元，其他的n form是行列式的常数倍。
你如果不喜欢内蕴的定义，非要写坐标的话，那你取定线性空间一组基，然后对应的n个向量你可以写成坐标列向量的样子，再然后你按照线性性展开，就得到了课本上定义的行列式的样子，不过差一个常数。

个人感觉是用来量化矩阵的——只在大学学过线代的说

线性代数中的行列式，矩阵，方程组，二次型都可以看作是向量！！！
行列式表示的是向量的内积