对角占优矩阵

如果A的每个对角元的绝对值都比所在行的非对角元的绝对值的和要大，即 |a_ii|>sum{j!=i}|a_ij| 对所有的i成立，那么称A是（行）严格对角占优阵。 如果A'是行严格对角占优阵，那么称A是列严格对角占优阵。 习惯上如果不指明哪种类型的话就认为是行对角占优。

严格对角占优矩阵一定正定吗？ 不一定，比如 负三阶单位矩阵

实对称矩阵是高等代数中一个重要的内容, 所谓定型实 对称矩阵是指正定、负定、半正定和半负定矩阵, 我们首先回 顾一下本文将用到的有关实对称矩阵的一些结论: 性质1: 一个实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆方 阵C, 使得A=C′C。 性质2: 一个实对称矩阵A半正定的充要条件是它的所有 主子式都大于等于零。 性质3: 一个实对称矩阵A负定( 半负定) 的充要条件是- A 为正定( 半正定) 。 性质4: n维欧氏空间中, 一组基ε1,ε2, ⋯,εn 的度量矩阵A= (aij), 其中aij=(εi,εj)为实对称矩阵, 而且矩阵A是正定的。 性质5: n维欧氏空间中, 两组基ε1,ε2, ⋯,εn 和η1 ,η2, ⋯,ηn 的度量矩阵分别为A和B, 那么A和B是合同的, 即若(η1,η2 , ⋯,ηn ) =(ε1,ε2, ⋯,εn)C, 则有B=C′AC。 本文要证明的主要定理为: 定理1: A=(aij)为n阶正定矩阵, 则有detA≤ n k=1 ∏akk

关于定型实对称矩阵的行列式的一个结论( 长江师范学院数学系, 重庆408100)杨世显  

对称正定矩阵对角线上的元素必须相同吗？ 不必须，例如所有满足对角线元素都是正数的对角矩阵都是对称正定的。

为什么hermite正定矩阵的模最大的元素一定位于主对角线上?

利用正定矩阵的任何主子阵正定。 如果模最大的元素A(i,j)不在对角线上，那么二阶主子阵 A(i,i) A(i,j) A(j,i) A(j,j) 不是正定的。

对称正定矩阵的绝对值最大元为什么是对角元？

正定矩阵的所有主子式大于0 则 aij=aji <= max {aii ajj} 就是说，对所有aij，在对角线上都有比他大的 所以毕在对角线上取得最大值

对角线元素均为0的对称矩阵，它是半正定的吗？

半正定矩阵的对角线元素是非负的，而且零矩阵是一个特殊矩阵。请问对角线元素为0一定能推出是半正定吗？

半正定，等价于所有主子式>=0 ，主对角元是一阶主子式>=0，但其他主子式不一定>=0，故不一定。

有，零矩阵就是半正定的。

正定矩阵对角线的各元素都大于0吗？

直接用正定的定义就可以了。 取x=(0,0,...,1,...,0)'，即第i个元素为1，其余为0的列向量，那么 x'Ax=a_{ii}>0。

都是非负数，可以有0，但是不能全部是0。

应该是正确的。我们可以利用数学归纳法来证明这个结论。 首先，n＝1时，是显然成立的。 假设，n＝k时成立。 则，当n＝k+1时。则考虑其一个n阶主子式，其也是正定的。其对角元的元素之和全都大于0。再考察另一个n阶主子式，则其对角元的元素也全大于零。综上知，其所有的对角元的元素都大于0。 综上知，命题得证。

正定矩阵对角线的元素aii都大于0吗？

取x为单位阵的第i列，由x'Ax>0即得。

纯量阵就是A=aE 其中a为常数，E为单位矩阵 正定矩阵的所有的特征值都是大于零的， 而矩阵的迹(即：主对角线元素之和)=所有特征值的和>0

对角线元素均为0的对称矩阵，它是半正定的吗？

半正定矩阵的对角线元素是非负的，而且零矩阵是一个特殊矩阵。请问对角线元素为0一定能推出是半正定吗？

线性代数中什么叫纯量？为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0？

半正定，等价于所有主子式>=0 ，主对角元是一阶主子式>=0，但其他主子式不一定>=0，故不一定。

有，零矩阵就是半正定的。

对角线元素为0、非对角线元素大于等于0的对称矩阵，它是半正定的吗？

不一定是，最简单的，二阶矩阵，角线元素为0、非对角线元素为1。而它的行列式为-1。

请问，对角线元素为0、非对角线元素大于等于0的对称矩阵，它是半正定的吗？

不一定是，最简单的，二阶矩阵，角线元素为0、非对角线元素为1。而它的行列式为-1

为什么说半正定矩阵的行列式大于等于0?

因为半正定矩阵的特征值>=0 特别附加定义，半正定矩阵为对称矩阵 所以可以对角化(定理) A=P*B*P^-1 |A|=|B|>=0

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。 相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。 证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。 2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 证明：A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。 证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。 同理可证A为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。 证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。 充分性： 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。 令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。 三． 负定矩阵的一些判别方法 1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。 2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。 3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。 由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。 四．半正定矩阵的一些判别方法 1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。 2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。 注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如： 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。 参考资料：http://math.ecnu.edu.cn/jpkc/gdyjj/xsxz/Zhangyan.htm