在固体物理学中，布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state）。

布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫而得名。

布洛赫波由一个平面波和一个周期函数 https://upload.wikimedia.org/math/b/4/d/b4d2e76640b0c2653c3cfcc8e1ff9512.png 与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：

https://upload.wikimedia.org/math/2/2/4/2245cb39e5614311ede2f6fbc664d43a.png

式中k 为波矢。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：

https://upload.wikimedia.org/math/3/3/5/335ce0f8258f8ebace8c9eee83441d34.png

这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem），其中 https://upload.wikimedia.org/math/4/9/6/496c33c3319938e89511e8052025535c.png 为晶格周期矢量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

平面波波矢 https://upload.wikimedia.org/math/2/c/e/2cea5257bcbd579fa5a7ea48564f6c25.png 的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢 https://upload.wikimedia.org/math/2/c/e/2cea5257bcbd579fa5a7ea48564f6c25.png 是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷以及电子与声子的相互作用。

从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符与平移算符的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程（Hill's equation）。

怎样理解布洛赫电子？

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Bloch波总可以写成\psi(\mathbf k, \mathbf r)=e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} u(\mathbf k, \mathbf r), 其中u(\mathbf{k},\mathbf{r})以Bravais格矢为周期函数. 从直观上来看, Bloch波是一个周期函数u(\mathbf{k},\mathbf{r})调幅的平面波. Bloch自己也这么说的: 

When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.

前面有答案从完备基的角度解释Bloch电子, 这自然是正确的. Bloch波作为厄米的哈密顿量算符的本征态, 自然具有正交完备性. 除此之外, 我还想补充几点. 

Bloch波函数中的指标\mathbf{k}是空间平移对称性的结果, 它是标记电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的量子数. 用群论的话说, Bloch 函数是晶体平移对称群不可约表示的基, 不同的\mathbf{k}标记不同的不可约表示, 相位因子e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r}是不可约表示的特征标.

\mathbf{k}和粒子的真实动量无关. \hbar\mathbf{k}称作晶格动量. 

注意到当\mathbf{k}\to\mathbf{k}+\mathbf{G}时(\mathbf{G}是任一倒格矢), e^{i \mathbf{G}\cdot \mathbf r}依然是正格矢的周期函数, 可以被吸收进u(\mathbf{k},\mathbf{r}), 并且与原来的u(\mathbf{k},\mathbf{r})满足相同的Schrodinger方程, 因此它们所对应的是同一个Bloch波. 这意味着\mathbf{k}总可以限制在第一布里渊区内. 或者说, Bloch波\psi(\mathbf k, \mathbf r)关于\mathbf{k}具有周期性. 这个周期性导致\psi(\mathbf k, \mathbf r)可以按正格子展开, 这就是Wannier函数的出发点.

Bloch波揭示了固体的能带结构. 将Bloch波代入Schrodinger方程, 得到\left[\frac{(\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k})^2}{2m}+V(\mathbf{r})\right]u(\mathbf{k},\mathbf{r})=E_{\mathbf{k}}u(\mathbf{k},\mathbf{r}). 由于Bloch波的周期性, 这个方程已经限制在了一个原胞内. 因此, 除了\mathbf{k}以外, 还应有一个量子数n来标记上述方程的能量本征值. 对于固定的n, E_n(\mathbf{k})=E_n(\mathbf{k}+\mathbf{G})是周期函数, 只能在一定的范围内变化, 有能量的上下界, 因此构成一能带. n就是能带的指标.

编辑于 2015-12-09 11 条评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报 • 作者保留权利

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bloch 波函数是电子波函数方程（例，薛定谔方程）在周期势能条件下的一个“本征解”。也就是说，任何可能的电子的波函数，都必须是这一组无穷波函数的线性组合。

bloch 波函数是电子在这个方程中的正交分解的基。还存在其他分解方法（例如紧束缚，wannier 波函数）等。bloch 波函数主要是基于傅立叶的分解理论。在光学周期结构中也有类似的分解，叫做Rayleigh-Bloch wave.

发布于 2014-05-29 7 条评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报 • 作者保留权利

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Bloch 定理的三个条件：

绝热：原子核固定

单电子：忽略电子与电子间的相互作用，只考虑电子与核的作用

周期

Bloch 电子的波函数：

\psi_n(\mathbf k, \mathbf r)=e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} u_n(\mathbf k, \mathbf r)

u_n是r的周期函数，也就是调幅平面波，电子分布周期性变化，同时电子是弥散在整个空间中的。平移一个格矢，波函数有e^{i k R_l}的相位变化。电子的散射是相干的，没有能量损失（无电阻），需引入晶格振动修正

在固体物理学中，布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state）。

布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch）而得名。

布洛赫波由一个平面波和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到。其中与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：


式中k 为波矢。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：


这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem），其中为晶格周期矢量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

更广义地，布洛赫波可用于描述周期性介质中的任何“类波动现象”——譬如周期介电性介质（光子晶体）中的电磁现象；周期弹性介质（声子晶体）中的声波，等等。

平面波波矢（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n 以区别。这些能带的能量在的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。

从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程（Hill's equation）。