求二面角平面角的方法（整理版）

一、 定义法：  

 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

•         说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌握，其过程是在二面角的一个面上找一点P，过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找的二面角的平面角

•         关键是，找出线面（二面角中的某个）垂直，再过线上的点做棱的垂线。

三．补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

四、射影面积法（ ）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小。

五、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

六、垂面法

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。（或棱不出现，仅有一个交点出现时，过该交点存在两平面的公共垂面，公共垂面与原来两平面形成的角为二面角的平面角）

七、用公式法求二面角的平面角

　 大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理．

总之，上述七种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后三种是两种不同的解题技巧。另外，对于棱在图形中没有显示的题目，可以考虑补棱法、射影法、垂面法。而向量法对于较易建坐标系的题目比较有效。

参考文献

五法求二面角，上犹中学数学教研组  刘道生

立体几何专题之三垂线定理ppt

用公式法求二面角的平面角

二面角的平面角的求法

透析“垂面法”找二面角的平面角 王子艳

二面角问题的垂面解法

二面角求值方法八种 刘和辉