正数的算术平均数不小于它的几何平均数.用式子表达为:(a1+a2+a3+...+an)n>=nn(a1a2a3...an),nn表示n的n次方.这称作平均值不等式也叫柯西不等式,这里我要给出它的五种证明方法.一,导数极值法:用数学归纳法,
n=1,2这里就不写了,设n=k时成立,那么要证[a1+a2+...+ak+a(k+1)](k+1)>=(k+1)(k+1)[a1a2...a(k+1)],令a(k+1)=x(a1+a2+...+ak),经过演算,只要证x+1-(k+1)k
[-k/(k+1)]*x[1/(k+1)]>=0,它左边导数为1-(kx)[-k/(k+1)],令它=0,判定原式有最小值为0.成立.二,柯西法:能够简单地证明n=2的k次幂时成立,若n不是2的k次方时,令n+m是:a1+a2+...+an
[-k/(k+1)]*x[1/(k+1)]>=0,它左边导数为1-(kx)[-k/(k+1)],令它=0,判定原式有最小值为0.成立.二,柯西法:能够简单地证明n=2的k次幂时成立,若n不是2的k次方时,令n+m是:a1+a2+...+an
令n+m是2的k次幂,令m项都等于前n项的算术平均数......三,陈景润法:也用数学归纳法,再用伯努力不等式......四,排序不等式法:令x1=a1/c,x2=a2/c2...c为几何平均数......五,条件极值法,高数课本有....
若要证明当且仅当各数都相等时取等号,只要设至少两项不等,如a1,a2,令a1+a2=(a1+a2)/2+(a1+a2)/2,往下很好证的.