数学广角-植树问题

（一）教学目标

1．使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。
2．初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。
3．让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

（二）教材说明和教学建议

教材说明

    和前面几册教材一样，本册也专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。本册主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
    解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。
    在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正方形、长方形或圆形等等。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形，例如，两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽。本单元通过一些生活中的事例，让学生根据不同的情况总结出规律，并利用这些规律来解决类似的实际问题。例1是探讨关于一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生先通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，再用发现的规律解决实际问题。例2讨论的是两端都不栽树的情形。例3则借助围棋盘来探讨封闭曲线(方阵)中的植树问题。通过这些生活中的事例，让学生初步体会解决植树问题的思想方法以及这种方法在解决实际问题中的应用，同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。

教学建议

1．适当把握教学要求。
    本套教材关于数学广角单元的安排，主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，或者介绍一些比较著名的数学问题，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。最重要的目的是让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。
    本单元就是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用，教学时，应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度，造成教学要求过高。

2．本单元内容可用4课时进行教学。

(三)具体内容的说明和教学建议
（第117～123页）

1． 例1及“做一做”。
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编写意图

    （1）例1讨论的是在校园里的一条小路一边植树，需要多少棵树苗的问题，这是关于一条线段的植树问题。小路全长100米，每隔5米栽一棵树，两端都要栽，一共要准备多少棵树苗呢？让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历分析、思考问题的过程。
    教材用四幅图来呈现学生探索解决问题的讨论过程。首先由一个男孩说出学生们可能会想到的答案：“100÷5=20，所以要准备20棵树苗。”接着一个女孩问：“对吗？”来引发学生思考。接下来呈现了解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题。这里采用的是画线段图的方式，让学生看到把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共有5个点，也就是要栽5棵树。使学生发现植树时准备树苗的问题并不能简单的用除法来解决。紧接着在第三幅图里小精灵提出问题：“你能找出什么规律？”启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵数要比间隔数多1。最后教材要求应用发现的规律来解决前面的植树问题：100米长的小路，按5米可以平均分成20段，也就是共有20个间隔，而栽树的棵数比间隔数多1，因此一共要准备21棵树苗。这样就把整个分析、思考、解决问题的全过程展示出来，让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。即遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。最后小精灵提出：“你是怎样想的？”鼓励学生用不同的方法解决问题。教材在这里呈现的是用画线段图的方法来探索规律，比较直观、简洁，学生也可以选用自己喜欢的方法来探索规律。
    （2）“做一做”也是关于一条线段且两端都要栽树的植树问题。但是，这里给出了植树的棵数，要求的是首尾两棵树之间的距离。和例1的情形一样，这里也要应用栽树的棵数比间隔数多1的规律，只不过例1是知道了路长求栽树的棵数，而“做一做”是知道树的棵数求长度。通过“做一做”的练习，加深学生对在例1中发现的规律的理解。

教学建议

    （1）教学时，教师可结合情境图出示问题，先让学生想一想，再让同桌或小组同学相互讨论，学生可能大多得出错误的结果：100÷5=20，所以要准备20棵树苗。这时教师可引导学生想：怎样检验这个结果是否正确？初步向学生渗透用比较简单的例子来验证较为复杂的问题，例如假设路长只有20米，要栽几棵树呢？提示学生用画线段图或者是示意图的方式来帮助思考，这样就很容易地发现直接用除法20÷5=4算出的结果和通过直观图看出的5棵树有冲突，引发学生的思考。接下来教师可以突出画线段图的方法（如下图），让学生观察：

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如果把一条线段平均分成4份，会出现几个间隔和几个间隔点？继续引导学生思考，假如这条线段就是一条小路，平均分成4份后，如果两端都要栽树的话，共要栽几棵树？让学生把间隔点数和栽树的棵数对应起来。之后让学生自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律。在学生自己探索时，不同的学生把一条线段分成不同的份数，但结果都是栽树的棵数正好是间隔点数。通过小组内的讨论找出其中的规律，就是在一条路上植树，如果两端都要栽的话，栽树的棵树都比平均分的份数也就是间隔数多1,正好与间隔点的个数相同。最后让学生根据发现的规律回过头再来解决前面提出的问题：100米长的小路，按5米可以分成20个间隔，两端都要栽树的话，就要准备21棵树苗。
    学生完成后，教师可提问：“还有别的想法吗？”鼓励学生用不同的方法来解决问题，比如有的学生可以直接由示意图找到答案，或者由示意图发现规律。还有的学生可能有不同的验算方法，例如可以这样想：栽20棵树，每两棵树相隔5米，通过示意图发现只有19个5米，也就是95米。这种思路同样也可以发现问题，再去寻找规律。只要学生的想法有道理，教师都要给予鼓励，保护学生独立思考的积极性。
    （2）“做一做”可以让学生直接根据前面发现的规律来解决。一共种了36棵树，那么就有35个间隔，一个间隔6米，总长就是35×6=210（米）。也可以让学生先从简单的情况入手，比如每隔6米种一棵树，2棵之间相距多远？3棵呢？4棵5棵呢？学生会发现相距的长度和栽树的棵数之间的关系，然后利用规律来解决这个问题。

2．例2及“做一做”。
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编写意图

    （1）例2是在例1的基础上继续探讨关于一条线段的植树问题的另一种情况。教材给出动物园里绿化队在大象馆和猩猩馆之间的小路两旁栽树的问题，根据实际情况在这条小路的两端都不栽树。解决这个问题时，教材首先给出一个学生的错误结果：“60÷3=20，每边有20个间隔，所以每边要栽21棵树。”但是学生没有考虑到实际的情况，由于小路的两端是大象馆和猩猩馆，所以不用栽树了。小精灵这时提醒学生注意：“可是小路两端是……” 由于学生前面有了探索的经验，这里可以放手让学生去探索，发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1，利用发现的规律再来完成例题里的计算。 
    （2）“做一做”是帮助学生利用规律来解决生活中的实际问题。第1题和例1对应，是两端都要栽树的情况。第2题和例2对应，这是源于生活中的一个现实问题：要把一根木头平均分成5段，需要锯几次？虽然不是植树，但是这里隐含的规律和植树问题相同。

教学建议

    （1）教学时，可以先放手让学生自己思考，小组讨论后汇报。有的学生如果不仔细分析就可能会出现和教材上女孩相同的想法，如果有的学生有不同的意见可以先让他们发表，进而引发学生的讨论，进一步来分析理解题意。教师可以这样启发学生思考：小路的两端都是场馆，还需不需要栽树呢？学生理解题意后，可以用自己的方法去探索这种情况的植树问题中隐含的规律，再向大家展示各自不同的方法。
    （2）“做一做”的第2题，可以结合实际，让学生来分析，找到相应的规律。通过这个练习可以培养学生用数学的眼光观察生活，从生活中发现数学问题的习惯。

3． 例3及“做一做”。
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编写意图

    （1）例3是植树问题的另一种情况——关于一个封闭图形的植树问题。这里借助围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少个棋子的问题，介绍如何解决类似的植树问题。在解决摆放棋子问题时，学生很容易像教材上的女孩一样，简单的认为“每边都能放19个棋子，最外层一共可放19×4=76个棋子”而忽略了“角上的棋子好像算重了……”接下来教材用直观图的形式展示了两个学生解决问题的方法。一种方法是：先看上下两个边，每边是19个棋子，然后再看左右两边，由于上下两边已经包括了两个端点，所以左右两边每边都少了2个棋子，只有17个，把四边上的棋子加起来就可得到最外层总共的棋子数。另一种想法是：每边都只算一个端点，这样每边正好都是18个棋子，18×4=72得出结果。接下来小精灵提出“你是怎样想的？还有其他的方法吗？”鼓励学生开阔思路，找到自己的方法。教材这里没有给出解决关于封闭图形植树问题的规律，而是用这种直观的方式来解决问题，体现了不同的学生在数学学习上有不同的发展。如果学生可以接受的话，也可以让他们自主探索这种植树问题中包含的规律，即栽树的棵数正好等于间隔数。例如，围棋盘最外层摆放的棋子数等于最外层每两个棋子间的间隔数，最外层每边有18个间隔，最外层总共摆放的棋子数是18×4=72。
    （2）“做一做”，第1题是知道了正方形四边上的总人数，求每边有几个学生，这是例3的逆向思考的题目。第2题是一个开放题，在正五边形的水池边摆花，使每边都有4盆花，要满足“最少需要几盆花”的要求，就要在五边形的五个顶点上都放一盆花，这种情况与例3相同。第3题是在例3的基础上增加了一个问题，即求整个方阵的总人数，可以直接用乘法来求出。

教学建议

    教学时，教师可从围棋引入，出示一个围棋盘，让学生观察棋盘最外层，引导学生发现最外层每边都有19个格点，这样每边都可以摆放19个棋子，再提出要解决的问题：围棋盘最外层一共可以摆放多少个棋子呢？让学生自己来探索，可以让学生借助方格纸自己画图，或是根据所提供的围棋盘学具来寻找解决问题的方法。先让学生独立思考，再让学生讨论汇报。教师在巡视时，如果发现有学生犯了和教材上女孩相同的错误，即直接用19×4=76 计算，可以先让该学生讲一讲他的方法，让其他的学生来评判，引发大家的讨论和思考。通过讨论交流和教师的引导，让学生领会如果用19×4计算的话，在围棋盘最外层每个角上的棋子就重复计算了。在汇报各自的想法时，学生可能会展示不同的解决问题的方法：直接点数出来；教材上介绍的两种方法；还可能有先算19×4=76，再减去重复计算的棋盘角上的4个棋子；或者用19×19-17×17来计算（19×19是整个棋盘的棋子总数，17×17是去掉最外层后可以摆放的棋子总数，用整个棋盘摆放的棋子总数减去去掉最外层后可以摆放的棋子总数就得到最外层摆放的棋子数），等等。对于学生的不同方法，只要合理正确，教师都应给予表扬和鼓励，保护学生独立思考解决问题的积极性，同时也要适时引导学生通过比较各种算法，学习、吸收更好的解决问题的方法、思路和策略，逐步提高学生的思维水平。至于关于封闭图形的植树问题中的规律可以让学生在后面的练习中自己探索。

4．关于练习二十中一些习题的说明和教学建议。

    结合本单元的内容特点，练习二十中的习题都是生活中常见的一些和植树问题相关的实际问题，让学生感受生活中处处有数学，同时也让学生应用所学数学知识和方法来解决身边的一些有趣的问题，感受数学在生活中的应用。
    第1题，是敲钟的用时问题，大钟敲响5下的时候，实际中间共有4个间隔，所以每个间隔时间是2秒；12时敲响12下，中间有11个间隔，所用时间是22秒。
    第2题和例1类似，12千米长的公共汽车行驶路线每1千米设一个车站，共有12个间隔，而两端都有车站，也就是公共汽车的起点站和终点站，因此共有13个车站。
    第3题，知道电线杆的总数和每两根间的距离，求总的距离。这里16根电线杆中间有15个间隔，故总长为200×15=3000（米）。
    第4题，是探讨关于封闭曲线的植树问题，可以让学生自己来完成。学生可以用画线段图的方式来寻找隐藏其中的规律，比如把一个圆圈平均分成4份，可以看到正好有4个间隔点，所以关于封闭曲线的植树的棵数正好是分出的间隔数。学生还可以直接由例1中发现的规律推广得来，把例1线段两个端点连到一起，就是一条封闭曲线了，而这时这两个植树点也合在一起了，所以植树的棵树就是分出的间隔数。

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    第5题，先要求出跑道的总长，求法和第3题类似。求出总长100米后，再想现在要插26面小旗，也就是有25个间隔，100米被平均分成25份，每个间隔是4米。
    第6题和例3类似，学生可能有不同的解答方法，最外层共摆了28盆花。
    第7题，解答的思路是：一张桌子可坐6人，两张桌子共坐12人，但是两张桌子并在一起只能坐10人，因为并起来时接头的两边不能坐人，所以减少了2人，以后每并一张桌子都只能增加4个人。照这样，10张桌子可以坐1个6人和9个4人，共42人。所以38人要并9张桌子才能坐下。
    教科书第119页下面的思考题是一道推理题。四个小朋友每人身上有一个号码，分别是1，2，3，4号，同时他们又是所参加的长跑比赛的前四名。教材提供了他们每人说的一句话，让学生根据小朋友的对话来推断他们各自的名次。正确答案是：1号小朋友是第3名，2号第4名，3号第2名，4号第1名。推理的方法是：先看1号，根据2号和4号的话，可以推断1号只能是第2名或者第3名。如果1号是第2名的话，那么1号说的“3号在我前面”，3号就应该是第1名了，这与3号的话“我不是第1名”相矛盾。因此1号就应该是第3名，3号是第2名。再看2号，如果2号是第1名，那么4号就是第4名，与2号的“我们的号码与名次都不相同”相矛盾，从而判断出2号是第4名，4号是第1名。学生还可以有不同的推理方法，通过这个思考题可以培养学生的逻辑推理能力。
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综合应用：小管家
（第124页）教材说明

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    本活动是在学生掌握了一些统计的知识基础上设计的。通过记录家里一周的日常开支、绘制折线统计图等活动，一方面可使学生经历收集、整理和分析数据的过程，巩固前面所学的统计知识；另一方面还能让学生试着学习理财，合理安排日常开支，感受数学的实际应用，逐步形成应用意识等。
    为更好地发展学生的统计观念，教材在活动的安排上特别注意让学生经历统计的完整过程：收集数据→整理、分析数据→统计决策。首先是学生每天向爸爸妈妈了解家里的每一笔开支，记录在设计好的表格内，算出小计，在一周结束时做好总计；然后根据每天的小计绘制一周开支的折线统计图，并对数据进行统计分析和在小组中交流；最后是依据统计结果给父母提出相应的理财建议。
    按照以上的编排思路，整个活动分为以下三个层次：
    1.收集数据。
    这是整个活动的基础。教材要求教师应在课堂教学的前一周，安排学生进行数据的采集工作，填好相应的开支统计表。
为便于学生操作，教材展示了一份“一周开支记录表”，可让学生用这份表收集和记录数据。这其实是一个比较简易的明细账表，跟学生以前在教材中接触到的常规的统计表有一定的差别。
    教材安排学生回家向父母了解每天的开支情况，目的是让学生体会统计源于现实生活的需要，感受数学的应用价值。
    2．整理、分析数据并绘制统计图。 
    教材在学生做完一周的调查记录并填好统计表后，提出“根据上面的统计表”“绘制出这一周开支的折线统计图”。之所以明确要求画出折线统计图，主要基于两方面的考虑：一是巩固学生在前面学习的有关折线统计图的知识；二是家里一周的开支情况往往具有一定的周期性，如周一至周五花费小，而周六、周日花费大等，而折线统计图恰恰能很好地反映出这种规律性。
    3．根据统计结果进行交流和作出推断，并提出建议。
    在完成统计图、表的基础上，教材要求学生进行小组合作交流和估算本月的总支出，这里可分两步进行：
    第一步，小组内相互交流，看看各家一周的开支有什么变化规律。每个学生都可以结合自己的统计图，向小组同学讲讲自己家里一周的开支情况，看看各家的开支项目有哪些区别等。 
    第二步，进行统计推断和提出建议。教材要求“根据这一周的开支情况，估算本月的总支出”，这一过程既可培养学生的估算意识和利用已有数据进行统计推断的能力，还可巩固以前学的“年、月、日”等知识。
    统计的作用和价值主要体现在能使人们更深入地认识和分析事物的特征，帮助人们进行科学推断和决策，所以教材通过小精灵提出问题：可以向爸爸妈妈提出哪些好的建议呢？这就是要求学生进行简单的统计决策。根据一周的统计记录，以及估算出的家里一月的支出情况，学生可以从收支平衡、节俭开支、增加文化支出等方面给父母提出建议。
    综上可以看出，本活动通过让学生当小管家，综合运用统计、估算、“年、月、日”等已有知识，既发展了学生的统计观念，又加强了学生估算意识的培养和估算能力的训练，并初步培养了学生的理财意识与能力，有利于学生养成勤俭节约等好的生活习惯。

教学建议

    1．这部分内容可用1课时进行教学。既可结合第七单元“统计”进行，也可按教材顺序在第八单元后进行。
    2．在课堂教学的前一周，教师应指导学生进行数据的收集、整理工作，并完成“一周开支记录表”，为课堂活动的开展奠定基础。在安排学生记录、填表前，教师首先应把“一周开支记录表”的特点对学生进行介绍，特别要讲清小计和总计的含义，阐明填表的方法。当然，教材上给出的开支记录表只是给学生提供一个范例，教师也可根据本班的实际情况，另外设计合适的统计表格，或放手让学生自己制作。               
    3．课堂上，组织学生根据统计表中的数据，利用教材附页的方格纸绘制折线统计图。绘图的关键是分析表中7个小计的数值，根据其大小和分布情况来确定统计图纵轴的取值范围。因不同学生收集的数据不相同，故其绘制的统计图的形状和纵轴的取值方式各有特点。针对一些学生的7个数据相差较大，教师在巡视时应帮助他们合理选择数值范围和取值方式，以更好地确定纵轴上每一格代表的数值。
    4．小组交流时，教师可让学生介绍自己的统计图的含义：先说说折线图中每一点都包含了哪些具体的开支项目，然后再说说“一周的开支有什么变化规律”，如周一至周五因为父母都上班，家里的支出较少，而周六和周日一家人出去游玩和采购日常用品，开支就较大；周三爸爸去缴了电费，所以开支就明显比其他几天要多；等等。在交流的过程中，教师应参与到一些小组中进行引导，使小组交流不要偏离了统计的主题。    
    5．根据“一周的开支估算本月的总支出”。教师可以先提出问题：“我们统计了家里一周的开支情况，你们能够估算出本月家里的总支出吗？”从而激发学生探究问题的兴趣。教师可先放手让学生探索估算的方法，然后再结合学生探索的结果进行总结和点评。在学生讨论和探究的过程中，教师可进行必要的引导，使学生的估算方法更加合理。如估算中特别要区分出一周支出中的短期消费项目（如买酱油、买菜等）和长期消费项目（如买大件电器），短期消费项目的支出具有连续性和相对稳定性，与本月的总支出有极强的相关性，而长期消费项目的支出则不具有连续、稳定的特点，对我们估算本月的总支出影响不大。如：本周家里买了一台大彩电，则另外几周的支出一般就会比本周少，所以在估算本月总支出的时候就不能简单地用本周的支出数据直接乘4，而要相应地调低基数，等等。
    6．接下来，教师可让学生根据统计图（表）的内容和估算的结果，“向爸爸妈妈提出好的建议”。如“你们在当小管家的过程中，对家里的支出情况有什么感受呢？你们还想对爸爸妈妈提出哪些建议？”学生结合自己的调查结果和估算情况，一般都能提出各种建议。如一周内花在娱乐项目上支出较多，而在买书等文化用品方面支出很少，则可建议父母在下周增加在文化用品上的支出，适当削减在娱乐项目上的支出；如果一周的支出过高，则可建议父母注意节俭，不要透支，等等。在学生发表建议的过程中，教师应适当进行引导，让学生意识到统计的作用和价值。

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