圆锥 教材说明和教学建议

（第23~28页）

本小节包括圆锥的认识和体积两部分内容，是在学生掌握了圆和圆柱的相关知识的基础上进行教学的。

 

1．圆锥的认识。

 

编写意图

 

这部分内容主要包括：圆锥的特征及各部分名称，其编排与圆柱的认识类似。

 

教材从展示生活中常见的圆锥形实物图入手，提出问题“上面这些物体的形状有什么共同特点？” 使学生对圆锥进行初步感知。接着从实物图中抽象出圆锥的几何图形，标明这样的图形叫圆锥，完成从具体到抽象的过渡，并让学生说说还见过哪些圆锥形的物体，巩固圆锥的表象。

 

例1引导学生观察圆锥形实物，认识圆锥的底面、侧面和高，掌握它们的主要特征。并介绍测量圆锥高的方法，测量时突出动手操作。为加深对圆锥的认识，教材还让学生拿一张直角三角形的硬纸，在一直角边上贴上小棒，快速转动小棒，看转出来的是什么形状，从旋转的角度认识圆锥。

 

W020100828692864676558.jpg教材说明和教学建议" />

 

 “做一做”让学生利用附页中的材料制作圆锥，加深对圆锥的认识，发展空间观念。

 

教学建议

 

（1）圆锥的引出可参照圆柱进行，在举生活中圆锥形的实物时，学生举的例子可能有限，教师可以通过录像或图片呈现更多的例子。如，圆锥形煤堆，圆锥形粮堆，圆锥形帐篷，圆锥形少数民族帽，削过的铅笔头等。

 

（2）例1认识圆锥时，可先复习圆柱的各部分名称及特征，以便通过对比，了解圆锥的组成及特征。圆锥高的认识是教学难点，教学时可联系圆柱的高进行：“圆柱两底面之间的距离叫做圆柱的高。那么圆锥的高指什么？”或给出两种不同的说法“从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高”和“从圆锥的顶点到底面圆周上的一点的距离是圆锥的高”，让学生通过辩论、交流，认识圆锥的高，并区分高和母线（母线的名称不要给学生介绍）。为进一步认识圆锥的高，可以通过实际测量或利用课件介绍测量圆锥高的方法。

 

做转动直角三角形纸片活动时，可先让学生猜测：“一个长方形通过旋转，可以形成一个圆柱，那么你们知道绕一个直角三角形的直角边旋转，会形成什么形状？”然后让学生通过转动直角三角形纸片发现，转出来的是圆锥，从旋转的角度认识圆锥。

 

认识圆锥后，可以将圆锥和圆柱从组成和特征角度进行对比，使学生加深对这两种图形的认识。

 

2．圆锥的体积。

 

编写意图

 

这里安排了两个例题，例2教学圆锥体积公式的推导，例3是圆锥体积公式的应用。

 

W020100828692864827547.jpg教材说明和教学建议" />

 

　　例2教材按引出问题──联想、猜测──实验探究──导出公式，四个层次编排。

 

（1）引出问题。教材首先提出“你有办法知道这个铅锤的体积吗？”让学生讨论，讨论结果是：可以用排水法，但这种方法太麻烦。从而产生推导圆锥体积公式的动机。

 

（2）联想、猜测。学生讨论，回想会计算哪些图形的体积，思考圆锥的体积和哪种图形的体积有关？从而将圆锥和圆柱的体积联系起来。

 

（3）实验探究。教材首先让学生准备好等底、等高的圆锥和圆柱，通过圆柱圆锥相互倒水或沙子的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。

 

（4）导出公式。通过试验学生发现：等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的W020100828692864982952.gif教材说明和教学建议" TITLE="圆锥 教材说明和教学建议" />Sh。

 

例3教学圆锥的体积计算。题目给出了圆锥形沙堆的底面直径和高，求沙堆的体积。通过这个例子的教学，使学生初步学会解决一些与计算圆锥形物体的体积有关的实际问题。

 

教学建议

 

（1）教学推导圆锥的体积计算公式时，可以参照教材中的四个步骤进行。

 

第一，引出问题时，应使学生体会推导圆锥体积公式的必要性。如，在提出用排水法测量铅锤的体积后，可提出：“如果要测量建筑物上圆锥形尖顶的体积，还能用这种方法吗？”让学生感觉到排水法的局限性，产生推导圆锥体积计算公式的需要。

 

第二，在猜想环节，可先让学生回想，会计算哪些图形的体积，再思考圆锥的体积可能和什么图形的体积有关，有什么关系。引导学生将圆锥的体积与圆柱的体积联系起来。

 

第三，实验探究时，除了准备等底等高的圆柱和圆锥外，还可以准备不等底不等高的圆柱和圆锥。使学生通过两组不同条件的实验，直观发现：用圆锥容器装水（或沙土）倒入等底等高的圆柱容器中，刚好倒三次。而不等底不等高的圆锥和圆锥容器，则不存在这样的关系。

 

第四，导出公式。在得出上述实验结果后，即可引导学生得出在等底等高条件下：圆锥的体积＝W020100828692864982952.gif教材说明和教学建议" TITLE="圆锥 教材说明和教学建议" />Sh。

 

（2）教学例2时，可先提示：“要求圆锥形沙堆的体积，必须先求什么？”然后让学生自己解决。反馈时，着重交流两个问题。一是解决问题的步骤：先算出沙堆的底面半径，再算出沙堆的底面积，然后求出沙堆的体积；二是为什么要乘W020100828692864982952.gif教材说明和教学建议" TITLE="圆锥 教材说明和教学建议" />，加深对圆锥体积公式的理解，防止出现错误。

 

3．关于练习四中一些习题的说明和教学建议。

 

第1题，除教材中的图，还可以让学生说说自己周围的一些物体是由哪些图形组成的。

 

第4题，根据圆柱（圆锥）的体积计算等底等高的圆锥（圆柱）的体积，进一步巩固圆锥与圆柱体积的关系。练习前可先组织学生复习等底等高的圆锥和圆锥的体积之间的关系。

 

第5题，需要测量出圆锥形实物的底面直径和高。底面直径的测量比较容易，可以用两把直尺平行地夹住物体的底面，测量出两把直尺间的距离，由此测出物体底面的直径；也可以用软尺量出底面的周长，再求出底面的半径或直径。高的测量不好操作，可以互相协作，按书上的方法（或其他方法）量出圆锥的高。

 

第7题，有关圆锥与圆柱体积关系的判断题，有助于进一步明确圆锥与圆柱体积的关系。可让学生在判断后谈谈理由。第（1）题的错误在于没有说明前题，因为只有在等底等高的条件下，圆锥体积才等于圆柱体积的1/3。第（2）题是正确的。第（3）题的错误同样是缺少必要条件，只有圆锥与圆柱的底面积相等，这种说法才成立。

 

整理和复习

 

（第29～31页）

 

这部分内容是对圆柱与圆锥这一单元的知识进行系统地整理和复习，使学生更好地掌握圆柱、圆锥的特征，掌握圆柱表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用所学知识解决一些简单的实际问题，培养学生解决问题的能力。教材在引导学生整理这些知识的时候，始终注意引导学生把握圆柱与圆锥的联系与区别，使学生更加明晰相关概念，灵活运用计算公式。

 

第1题，复习圆柱、圆锥的特征。教材出示大小、方向各不相同的圆柱与圆锥，让学生在分类的基础上，回顾、整理图形的特征。

 

W020100828692864986861.jpg教材说明和教学建议" />

第2题，整理复习圆柱的表面积以及圆柱、圆锥体积的计算方法。教材首先让学生回忆圆柱侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积公式的推导过程，再进行实际计算。

 

第3题，应用圆柱表面积和体积的计算解决实际问题。

 

这部分内容可用1课时进行教学。

 

教学建议

 

1．复习、整理时，仍可借助直观手段帮助学生回顾、总结图形的特征和计算方法。如，复习圆柱的表面积时，让学生根据圆柱的展开图，写出计算侧面积和表面积的计算公式，以帮助学生理解和记忆。

2．注意知识间的联系与区别。圆锥的体积计算公式学生容易忘记乘W020100828692864982952.gif教材说明和教学建议" TITLE="圆锥 教材说明和教学建议" />，因此复习时，一方面可引导学生回忆圆锥体积计算公式的推导过程，另一方面也可以加强有关圆锥、圆柱体积关系的对比练习。如可以补充类似教科书第27页第4题，第28页第7题那样的练习，以帮助学生弄清圆柱圆锥体积的关系。此外，圆柱的表面积和体积也是两个容易混淆的概念，复习时，可通过具体例子加以区别。完成第29页第3题后，可让学生说一说它们之间的联系和区别，以便分清概念和所用的公式及计量单位。

 

3．关于练习五中一些习题说明和教学建议。

 

第5题，是圆锥的体积转换为长方体的体积的一种实际应用。练习时，可引导学生思考物体的形状虽然发生了变化，但什么东西没有发生变化？根据这样的关系，求出这个长方体的长。

 

第6题，先让学生思考怎样做，才能使圆柱最大，使学生明确圆柱的直径和高等于正方体的棱长时，圆柱的体积最大。圆柱的体积为：

 

3．14×2²×4＝3．14×4×4＝50．24（dm²）

 

4．数学游戏“剪大洞”。

 

本游戏旨在通过一个趣味性的活动，开拓学生解决问题的思路，培养学生思维的灵活性和对数学活动的兴趣。

 

该游戏开门见山，直接向学生提出问题，“你能在一张作业纸上剪出一个大洞，让两个学生钻过去吗？”激发学生解决该问题的兴趣。在学生充分思考、交流后，老师可请成功解决该问题的学生上前向大家演示剪的过程。如果学生尚未掌握解决问题的要领，可由老师演示并带领学生完成正确的操作。老师可通过提出以下问题：（1）剪的起点与终点分别在哪里？（2）每次剪时，为什么都不剪到头？（3）最后，是从折痕上的A点剪到B点，还是将折痕剪开？帮助学生领会保证剪后的纸保持连通不断的要点。

 

待学生掌握了正确的操作步骤后，老师可进一步深化问题“怎样剪可以使这个洞变大，让两个同学钻过去？”让学生通过思考进一步明确，只要将对折后的纸分割的份数越多，即剪的越细，形成的洞就越大。