解答：

（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，

∵DP⊥CN，

∴∠CMD=∠DOC=90°，

∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，

∴∠CPD=∠CNB，

∵DC∥AB，

∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，

∵在△DCP和△CBN中

，

∴△DCP≌△CBN（AAS），

∴CP=BN，

∵在△OBN和△OCP中

，

∴△OBN≌△OCP（SAS），

∴ON=OP，∠BON=∠COP，

∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，

即∠NOP=∠BOC=90°，

∴ON⊥OP，

即ON=OP，ON⊥OP．

（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，

∴O到BC边的距离是2，

图1中，S_{四边形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，

http://s8/mw690/003v1x6Zgy6IFmQ7Je7a7&690

解答：

（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．

（2）解：（1）中的结论成立．

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，

又　PC=PC，

∴△PDC≌△PBC，

∴PD=PB，

∵PE=PD，

∴PE=PB，

②：由①，得△PDC≌△PBC，

∴∠PDC=∠PBC．（7分）

又∵PE=PD，

∴∠PDE=∠PED．

∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，

∴∠EPB=360°﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，

∴PE⊥PB．

（3）解：如图所示：

http://s13/mw690/003v1x6Zgy6IFn3Smaobc&690

解答：

解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得4²+（8﹣x）²=x²，

解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得http://s13/small/003v1x6Zgy6IFsUcXa43c&690

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，http://s12/mw690/003v1x6Zgy6IFsYUxU7db&690

 秒．

②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．

分三种情况：

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

http://s5/mw690/003v1x6Zgy6IFnfaIqo14&690

解答：

（1）解：过点B作BC⊥y轴于点C，

∵A（0，2），△AOB为等边三角形，

∴AB=OB=2，∠BAO=60°，

http://s5/mw690/003v1x6Zgy6IFsMHGdu54&690 

（2）证明：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，

∵∠PAQ=∠OAB=60°，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO和△AQB中，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，

∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；

（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．

①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

http://s10/mw690/003v1x6Zgy6IFsBNGSR79&690
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，

此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，

当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．

http://s10/mw690/003v1x6Zgy6IFsrmzDHe9&690

http://s14/mw690/003v1x6Zgy6IFntSSRf3d&690

解答：

解：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．

证明：∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO，

又∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF是∠BCA的外角平分线，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠5=∠2+∠4，

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

http://s5/mw690/003v1x6Zgy6IFoeXruc04&690

解答：

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，

∴四边形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：

延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；

如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．

http://s14/mw690/003v1x6Zgy6IFoyK12J9d&690

解答：

解：（1）AE=AD．

理由如下：

∵AB⊥ON，AC⊥OM，

∴∠AED=90°﹣∠MOP，∠ADE=∠ODB=90°﹣∠PON，

而∠MOP=∠NOP，

∴∠AED=∠ADE．

∴AD=AE．

（2）菱形．

理由：连接DF、EF，

∵点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，

∴AE=FE，AD=FD．

由（1）得AE=AD，

∴AE=FE=AD=FD．

∴四边形ADFE是菱形；

（3）OC=AC+AD．

理由：∵四边形ADFE是菱形，

∴∠AEO=∠FEO，

∵∠AOE=∠FOE，

∴∠EFO=∠EAO，

∵AC⊥OM，OP平分∠MON，AE=EF，

∴EF⊥OC，

∴∠EFO=90°，

∴AE=EF=AD，OA=OF，

∵∠MON=45°，

∴∠ACO=∠AOC=45°，

∴OA=AC，∠FEC=∠FCE，

∴EF=CF，

∴CF=AE，

∴OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD．

http://s15/mw690/003v1x6Zgy6IFp6ggkm2e&690

解答：

（1）证明：∵CE平分∠BCA，

∴∠BCE=∠ECP，

又∵MN∥BC，

∴∠BCE=∠CEP，

∴∠ECP=∠CEP，

∴PE=PC；

同理PF=PC，

∴PE=PF；

（2）解：当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：

由（1）可知PE=PF，

∵P是AC中点，

∴AP=PC，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，

且∠BCA+∠ACD=180°，

http://s11/mw690/003v1x6Zgy6IFrwYYYOaa&690

∴平行四边形AECF是矩形；

（3）解：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP．

∵EF∥BC，

∴AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，

http://s3/mw690/003v1x6Zgy6IFrkdziyc2&690

∴∠BAC=30°．

http://s2/mw690/003v1x6Zgy6IFpe86Nrd1&690

解答：

解：（1）y=MP+MQ=2t； 

（2）当BP=1时，有两种情形：

http://s13/mw690/003v1x6Zgy6IFr5EmqEbc&690
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为 ．

②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5．

PQ=BM+MQ﹣BP=8，PC=7．

设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，

过点P作PH⊥AD于点H，

则HP= _{http://s4/mw690/003v1x6Zgy6IFqEBdmz03&690}．

在Rt△HPF中，∠HPF=30°，

∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，

∴点G与点D重合，如图2．

此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 _{http://s11/mw690/003v1x6Zgy6IFqoutlg2a&690} 

（3）能，

此时，4≤t≤5．

过程如下：

如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，

此时被覆盖线段的长度达到最大值，

∵△PEQ为等边三角形，

∴∠EPC=60°，

∴∠APE=30°，

∵http://s2/mw690/003v1x6Zgy6IFqd0i2Jc1&690 

∴AF=3，BF=6，

∴EF=FG=2，

∴GD=6﹣2﹣3=1，

所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，

∴4≤t≤5．

http://s7/mw690/003v1x6Zgy6IFpri92mf6&690

解答：

解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，

①∵AC是正方形ABCD对角线，

∴∠QAP=∠APQ=45°，

∴AQ=PQ，

∵AB=QF，

∴BQ=PF，

∵PE⊥PB，

∴∠QPB+∠FPE=90°，

∵∠QBP+∠QPB=90°，

∴∠QBP=∠FPE，

∵∠BQP=∠PFE=90°，

∴△BQP≌△PFE，

∴QP=EF，

∵AQ=DF，

∴DF=EF；

②如图2，过点P作PG⊥AD．

∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，

∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，

∵四边形DFPG为矩形，
http://s6/mw690/003v1x6Zgy6IFq4a6Kp45&690

（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC= CE．

如图3：

①∵PB⊥PE，BC⊥CE，

∴B、P、C、E四点共圆，

∴∠PEC=∠PBC，

在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴∠PBC=∠PDC，

∴∠PEC=∠PDC，

∵PF⊥DE，

∴DF=EF；

http://s13/mw690/003v1x6Zgy6IFpWX1Zabc&690

   http://s2/mw690/003v1x6Zgy6IFpIXAZ361&690          http://s14/mw690/003v1x6Zgy6IFpIpiLHed&690