牛顿53、匀速圆周运动公式解析，实验验证向心力公式

（匀速圆周运动）公式解析

…公：见《欧几里得1》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…式、公式：见《欧几里得132》…

…解、析、解析：见《欧几里得36》…

 

计算公式

1、v（线速度）=ΔS/Δt=2πr/T=ωr=2πrn（S代表弧长，t代表时间，r代表半径，n代表转速）

…速、度、速度：见《伽利略3》…

…：第4个希腊字母。大写Δ，小写δ。音标/'delt/，英文delta，汉语名称得尔塔/德尔塔。表示变化量…

…ω：第23个希腊字母。大写Ω，小写ω。音标/'mg/，英文omega，汉语名称奥米伽/欧米伽。表示欧姆，角速度、角频率（与圆周运动相关）…

 

2、ω（角速度）=Δθ/Δt=2π/T=2πn（θ表示角度或者弧度）

…θ：第8个希腊字母。大写Θ，小写θ。音标/'θi:t/，英文theta，汉语名称西塔。表示温度、角度…

 

3、T（周期）=2πr/v=2π/ω=1/n

4、n（转速）=1/T=v/2πr=ω/2π

5、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2n^2

…^：乘方…

…ω^2：ω的平方…

…Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2n^2：Fn（向心力）=ma（向心加速度）

a（向心加速度）=v^2/r （见《牛顿49~52》）

∴ Fn（向心力）=mv^2/r （1）

 

把v（线速度）=ωr带入（1）式得Fn（向心力）=mrω^2

把v（线速度）=2πr/T带入（1）式得Fn（向心力）=mr4π^2/T^2

把v（线速度）=2πrn带入（1）式得Fn（向心力）=mr4π^2n^2…

 

6、a_n（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2

…加、加速度：见《伽利略3、4》…

 

向心力公式的推导

…向、向心力：见《牛顿20、21》…

…推、导、推导：见《欧几里得7》…

 

用实验验证向心力公式

…实、验、实验：见《欧几里得11》…

…验、证、验证：见《欧几里得12》…

 

测定匀速圆周运动向心力的实验仪器种类非常多，它们不仅能定性验证，而且也能定量测定。

 

验证的基本步骤是：

首先，在确定转速（n）、圆周半径（r）都恒定的前提下，验证向心力与质量（m）是不是正比关系。

…质、量、质量：见《伽利略5》…

…正：见《欧几里得13》…

…比：见《欧几里得27》…

…正比：见《牛顿18》…

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

 

用来作对比实验的两物体要经过严格配重，并且用天平测量出两球的质量一个是另一个的一半。

实验显示：测力计所示的向心力随着作圆周运动物体质量的加倍而加倍，这就证明了向心力与物体质量的正比关系。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

其次，在保持质量（m）、运动半径（r）都恒定的情况下。由于角速度（ω）与转速（n）是正比关系，所以我们只需验证向心力与转速的平方是不是正比关系。

实验时，转速增加到 2倍，从测力计上可以看出，在允许的误差范围内，向心力增加到 4 倍。验证了向心力跟角速度的平方成正比。

 

最后，在保持质量（m）、角速度（或转速）都不变的前提下，验证物体进行圆周运动时的向心力与圆周的半径是不是正比关系。

实验时，使运动半径增加到2倍，转动后，从测力计上可以看出向心力也增加到2倍。说明向心力（F）与半径（r）成正比。

 

物理介绍

 

描述匀速圆周运动快慢的物理量：

线速度v

意义：描述质点沿圆弧运动的快慢的物理量。线速度越大，质点沿圆弧运动越快。

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

…质、点、质点：见《牛顿4、5》…

 

定义：线速度的大小等于质点通过的弧长s与所用时间t的比值。

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

单位：m/s。

矢量：方向在圆周各点的切线方向上。

…矢、量、矢量：见《伽利略4》…

…切、线、切线：见《牛顿47》…

 

就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度。

质点做匀速圆周运动时，线速度大小不变，但方向时刻在改变，故其线速度不是

恒矢量。

边缘相连接的物体，线速度相同。

 

角速度 ω

定义：连接质点和圆心的半径（动半径）转过的角度跟所用时间的比值，叫做匀速圆周运动的角速度。

单位：rad/s（弧度每秒）。

矢量（中学阶段不讨论，用<<font face="宋体">安培右手定则>可判断方向，例如：当其在水平面上顺时针转动时，角速度方向竖直向下）。

质点做匀速圆周运动时，角速度ω恒定不变。

同一物体上任意两点，除旋转中心外，角速度相同。

 

周期T

定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

单位：s（秒）。

标量：只有大小，没有方向。

意义：定量描述匀速圆周运动的快慢。半径相等时，周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。

质点做匀速圆周运动时，周期恒定不变。

 

频率f

定义：周期的倒数（每秒内完成周期性运动的次数）叫频率。

单位：Hz（赫）。

标量：只有大小，没有方向。

意义：定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。

质点做匀速圆周运动时，频率恒定不变。

 

转速n

定义：做匀速圆周运动的质点每秒转过的圈数。

单位：在国际单位制中为r/s（转每秒）；常用单位为r/min(转每分)。1 r/s=60 r/min。

（注：r=round 英：圈）

标量：只有大小，没有方向。

意义：实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。

质点作匀速圆周运动时，转速恒定不变。

 

“一个物体的运动轨迹，也就是它各个时刻的位置矢量端点连成的曲线。

请看下集《牛顿54、用速端曲线推导向心加速度公式》”

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