欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的

 

只能用反证法证明的命题，有以下几类：

…反证法：见《欧几里得72~75》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…命、题、命题：见《欧几里得70》…

 

1.有关纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。这类问题通常都是直接作为定理或常用推论来使用的，比如根号2是无理数。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…推、论、推论：见《欧几里得66》…

 

2.对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理：

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…

 

由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…体、系、体系：见《欧几里得27》…

3.证明一个集合有无穷多个元素：用反证法。即证明如果它是有限的，则会存在矛盾

…集、合、集合：见《欧几里得31》…

…元、素、元素：见《欧几里得45》…

 

如，证明不存在最大的自然数。如果从正面去证明，相当于列举自然数，然而我们需在有限的步骤中完成，因此直接证法行不通。于是，利用排中律转化为：对于所有自然数n，存在一个自然数m，使得m>n。这几乎是显然的。

…排中律：见《欧几里得72~74》…

 

总之，只要承认证明过程中只能在有限的步骤中完成，那么关于无穷的问题，我们也只能利用排中律转化为有穷来证明。

 

依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

…思、维、思维：见《欧几里得22》…

…矛盾律：见《欧几里得73》…

 

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以反命题必为假。再根据“排中律”，命题与反命题这互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原命题必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

使用方法

运用反证法证明命题的第一步是：假设命题不成立，即假设命题的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设，是使用反证法的一大关键。否则，如果错误地“否定命题”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。

 

要想正确的做出反设，必须注意以下几点：

（1）分清命题与反命题的逻辑关系。

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

…逻辑关系：即“依赖关系”，指在人类活动中和思维活动中，概念之间的逻辑关系、命题之间的逻辑关系、事物之间的逻辑关系，时间之间和空间之间的逻辑关系。指表示两个活动（前导活动和后续活动）中一个活动的变更将会影响到另一个活动的关系…

（…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…）

 

（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬（miù），做到无一遗漏。

…归：见《欧几里得38》…

 

…谬：本意是极端错误，非常不合情理，错误的，不合情理的，差错。礼记·中庸》有记载：考之三王而不谬。

字义：1.错误的；荒唐的：～论。

2.差错：失之毫厘，～以千里…

 

…归谬：又称归谬法…

…法：见《欧几里得3》…

…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的。

归谬法一般指反证法…

 

总之，在否定命题之前，首先要弄清命题是什么。当命题的反面非常明显并且只有一种情形时，是比较容易做出否定的。但命题的反面是多种情形或者比较隐晦（huì）时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析（x）、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是原命题。

…分、析、分析：见《欧几里得36》…

范例

证明：素数有无数个。

…素：见《欧几里得24》…

…数：见《欧几里得15》…

…素数一般指质数…

…质、质数：见《欧几里得15、16》…

 

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a（1）＜a（2）＜a（3）…＜a（n）

此时，令N=a（1）·a（2）·a（3）…a（n）+1

（…真：符合事实…见《欧几里得75》…

…不真：不符合事实…）

 

那么所有的a（i）（i=1，2，3，4，5，n）显然都不是N的因子，那么有两个可能：

…因、子、因子：见《欧几里得16》…

1.N有另外的素数真因子。

…真：见《欧几里得16》…

…真因子：自身以外的因数。如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…

 

2.N本身就是一个素数。

 

但是显然有N＞a（i）（i=1，2，3，4，5，n）。

无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个素数！

 

“雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了…”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。

请看下集《欧几里得77、最、简、最简分数，分子，母、分母，互、互质，数学符号∴》”

若不知晓历史，便看不清未来

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