欧几里得96、辗转相除法的计算原理；取模运算和取余运算

“辗转相除法…其计算原理依赖于下面的定理：”现代学者说。

…辗转相除法：见《欧几里得94》…

…原理：可以作为其他规律的基础的规律…

下面的定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。

…其它表述为：被除数、除数、余数是整数，被除数除以除数，得到余数，则（被除数，除数）=（除数，余数）；a、b、c是整数，a除以b余c，则（a，b）=（b，c）；a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）…

…（a，b）：整数a与整数b的最大公约数…见《欧几里得95》…

…

“a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）”有多种证法：

证法一

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r），则r = a mod b

…mod：“Module Operation”的首字母缩写（取前三个字母）…

…module（英语）：n.单元（尤指英国大学课程的一部分）；模块；功能块；程序块；组件；配件…

（…名词Noun，简称n.…

…Noun：英语，意思是“名词”…）

…Operation（英语）：n.操作；经营；[外科]手术；[数][计]运算…

（…[数]：数学行业…

…[计]：计算机行业…）

…Module Operation：取模运算…

取模运算：取模运算（“Module Operation”）和取余运算（“Complementation”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要用于计算机术语中。取余则更多是数学概念…

…Complementation（英语）：n.补充；（动词的）补足语，补语…

“模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用…从奇偶数的判别到质数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影…”现代百姓说，“虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多…”

…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…

…幂：见《欧几里得87》…

…模幂运算、孙子问题、恺撒密码：内容量太大了，这里就不介绍了…

对于正整数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

1. 求整数商：c = a/b

…a=c·b+r

…r：余数…

（“余数用r表示，r是remainder的首字母…”现代学者说。

…remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书…

2. 计算模或者余数：r = a-c·b

…

“取模是怎么运算的？…希望可以讲得通俗一点…”网友提问。

““对数字来说，整数是完整模块…‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数…”现代学者说。

请看下集《欧几里得97、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好》”

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