欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数

√2是无理数…证法6：

“假设√2=a/b，其中右边是最简分数，即在所有等于a/b的分数中，a是最小的正整数分子…”寂寞de小老鼠说。

…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…

“在a²=2b²（a的平方=2×b的平方）的两边减去ab有a²-ab=2b²-ab（a的平方-ab=2×b的平方-ab），a（a-b）=b（2b-a），即√2=a/b=（2b-a）/（a-b）…”寂寞de小老鼠接着说。

“右边的分子2b-a＜a，这与a是最小的分子矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠最后说。

…已知√2=a/b，a、b是正整数，比较2b-a与a的大小。

√2=a/b

∴ √2b=a

将√2b=a带入2b-a与a中，得：

2b-a=2b-√2b=（2-√2）b

a=√2b

比较2b-a与a的大小，等于比较（2-√2）b与√2b的大小。

比较（2-√2）b与√2b的大小，等于比较（2-√2）与√2的大小。（此处运用了不等式的基本性质。）

2-√2＜√2

∴ 2b-a＜a

 不等式的基本性质：不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：

1.如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；（对称性）

2.如果x＞y，y＞z；那么x＞z；（传递性）

3.如果x＞y，z为任意实数或整式，那么x+z＞y+z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；（加法单调性，即同向不等式可加性）

4.如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；（乘法单调性）

5.如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；（乘法单调性2）

6.如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；（加法单调性2）

7.如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn；（乘法单调性3）

8.如果x＞y＞0，那么x的n次幂＞y的n次幂（n为正数），x的n次幂＜y的n次幂（n为负数）。（正值不等式可乘方；正值不等式可开方）…

证法7：连分数法

“因为（√2+1）（√2-1）=1，因此√2-1=1/（1+√2），√2=1+1/（1+√2）…”寂寞de小老鼠说。

“√2=1+1/（1+√2），将分母中的√2用‘1+1/（1+√2）’代替，有√2=1+1/（1+1+1/（1+√2））=1+1/（2+1/（1+√2））…”寂寞de小老鼠接着说，“不断重复这个过程，得√2=1+1/（2+1/（2+…）） ”

“这是一个无限连分数，而任何有理数都可以表示为分子都是1、分母为正整数的有限连分数，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠最后说。

 “奠基最初的意思是在打地基盖房搞建筑或一切破土动工的时候，选择一个吉时，向在此地埋葬的无主坟或者一切生灵祭奠，告知他们将于此地破土动工，请他们知悉并谅解或迁徙他方…

请看下集《欧几里得89、构图法；“奠基”的渊源；数学概念：单位》”

若不知晓历史，便看不清未来

欢迎关注新浪微博“人性的游戏1”