欧几里得18、有理数的几何解释；希帕索斯之死；柏拉图学生——欧多克斯

“有理数有一种简单的几何解释：在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数…”荟（huì）文苑（yuàn）接着说，“正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点…”

…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…

“古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边没有最大公度线段…”荟文苑继续说。

…等腰直角三角形：？？？…

“等腰直角三角形就是正方形的一半…”网友说，“正方形对角线，加上两条边…形成的就是等腰直角三角形…”

…公度线段：见《欧几里得17》…

“正方形边长为1时，它对角线的长度无法用整数或分数表示出来…但它的长度又的的确确客观存在…它的长度是种新发现的数…”荟文苑最后说，“新发现的数和之前‘合理存在的数’（即有理数）不同，所以被称为无理数…”

…

“‘边长1的正方形的对角线长度无法用整数或分数表示出来’，这个简单的数学事实的发现，使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑…”荟文苑说。

“它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击了当时希腊人持有的‘一切量都可以用有理数表示’的信仰…”荟文苑接着说。

…信条：忠实遵守的准则…

…毕达哥拉斯派的信条：万物皆数（万物都可以用整数或分数表示），见《欧几里得16、17》…

…信仰：人瞬间的想法叫思想，人坚持很长时间的想法叫信仰；一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰…

…

“这就形成了悖（bèi）论…人们称之为毕达哥拉斯悖论，也叫希帕索斯悖论…”荟文苑继续说，“这次悖论直接导致了认识上的危机，从而产生了第一次数学危机…”

…悖：1.相反；违反。2.违背道理；错误。3.迷惑；糊涂…

“据说，希帕索斯由于发现了无理数，从而遭到毕达哥拉斯学派的追杀。他虽逃到了埃及，但几年之后，在回国途中，还是被人扔到海里淹死了…”荟文苑最后说。

“200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比…”荟文苑说。

“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。

““曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…按‘万物皆数’理论（见《欧几里得16、17》），这个对角线是数，但是…人们无法用数将它表示出来…”现代学者说。

请看下集《欧几里得19、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？》”

若不知晓历史，便看不清未来

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