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三角函数的几何意义

(2011-09-19 23:14:26)
标签:

杂谈

分类: Geek
1、三角函数线

    对已经给定的角a (暂时先考虑为第一象限角),在它的终边上取点P(x,y),使OP=1,以OP为半r作一个圆(习惯上,称半径等于单位长度1的圆为单位圆,见图4-22),交x轴的正半轴于点A,过点A作单位圆的切线,与OP的延长线交于点T.则有:

sina=MP,  cosa=(BP=)OM,  tana=AT
http://s8/middle/718f290agad4cf4c2e4a7&690


2、三角函数线的命名

    下面我们来看一看,这些线段表示什么.

MP 是过P、与角a 始边垂直的弦(sine),垂直又称正交,因此MP是正交弦,简单一点,就命名线段MP为正弦线;

AT 是与角a 的始边垂直(正交)的切线(tangent),因此命名它为正切线;

BP=OM 是对a的余角作同样解释的结果,因此线段名称应为余角正交弦,也简化一下,就称为余弦线(cosine)

    因为三角函数值正好是这些命名线段的长度,顺理成章地就成为相应函数的名称了,同时简化的英文名称也就被采用为函数符号.以后我们把正弦线MP、正切线AT、余弦线BP,通称三角函数线.因为OM=BP,在习惯上,是把线段OM称作余弦线的,这虽然在几何上有点说不通,但既然习惯如此,你以后也只能认可了.


3、有向线段

    a 为第二、第三或第四象限角时,角a也能在单位圆上割取三条线段,如图4-22 所示,第二象限角a也割取了线段MPOMAT.在这里需要注意一点,角a的切线,总是在单位圆周与角的始边的交A处引出的,因此此时的正切线是在角a终边的反向延长线上.当角到了第二、三、四象限,三角函数值可以是负的,而线段长度总是非负的,例如cosa=OM,如何来解决这个矛盾呢?

    在这里我们引进一种带有方向的有向线段,并规定如果线段取正方向,则它表示的数量就是它的长度,如果取负方向,则它表示的数量是一个绝对值为长度的负数.解决三角函数值可以正负、三角函数线长度只能是正这对矛盾的出路,正在于这种有向线段.我们只要认为所谓正弦线、余弦线等三角函数线都是有向线段就行了.

    具体地说,我们规定所有三角函数线都是有向线段;正弦线从MP,正切线从AT(见图4-22,4-23),正向向上;余弦线从OM,正向向右.

    按这样的规定,再来看图4-23.在那里角a是第二象限角,sina>0, cosa<0, tana<0,正弦线MP向上是正的,正切线AT向下是负的,余弦线OM向左是负的.三角函数值的符号与三角函数线的数量,就完全统一了.

    最后,要说一下你今后经常有用的事实.从图4-22和图4-23可见,任何一个角a,其终边与单位圆的交点P的坐标,总是P(cosa,sina)

http://s12/middle/718f290ag77bae8a22a0b&690


另:直线的斜率k = tana = sina/cosa
y =kx+b

k为rise和run的比值,每向上移动rise个单位就会向右移动run个单位,所以直线的斜率可以平移到原点,看他从X轴逆时针的那个角度的tan

参考资料:

http://blog.hengqian.com/UploadFiles/2008-9/911399950.doc


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