《数学分析》《高等数学》《微积分》

       《微积分》考试内容整理 陈彬(南京大学) 独编 2013.5.28

总结上、下两册30种题型，几乎平分天下，各15种题型，符合往年至少考15题，至多17题目的风格。(附：最近一个月帮一个南大女学生补习《大学微积分》，故而整理出来，希望对大家有些帮助)

从上册开始：

求数列极限(4种情形) 预备公式：5个特殊数列的极限 预备知识：数列极限的四则运算

 

求函数极限(24种情形) 预备公式：2个特殊函数的极限，等价无穷小，洛必达法则 预备知识：函数极限运算的四则运算

 

求函数表示曲线的渐近线 预备公式：斜率公式、截距公式

 

求(连续)函数极值、最值 预备知识：介值定理、零点定理、最值定理、利用导数计算函数单调性、费马定理、达布中值定理、凹凸函数

 

求函数(一阶、高阶)导数、微分 预备公式：基本初等函数的导数公式(13个) 预备知识：导数、导函数的四则运算，反函数求导法则，复合函数的求导法则

 

求函数的不定积分、定积分 预备公式：基本初等函数的不定积分公式(13个) 预备知识：换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、牛顿—莱布尼茨公式(即微积分基本公式)

 

求直线、曲线围成的封闭平面图形的面积，求旋转体体积(定积分的应用)，求平面曲线的弧长 预备公式：5个

 

上册结束；

 

下册开始：

数项级数收敛性的判别及计算 预备知识：无穷级数、幂级数、傅里叶级数(三角级数)

 

函数项级数收敛性的判别及计算 预备知识：柯西审敛法、莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法、维尔斯特拉斯判别法

 

计算多元函数的极限、偏导数、全微分 预备知识：隐函数微分法与复合函数微分法

 

计算隐函数的导数 预备知识：同上，隐函数求导法则

 

多元函数的条件极值问题、极值的充分条件 预备公式：黑塞矩阵；预备知识：拉格朗日乘数法

 

计算曲线积分、曲面积分 预备公式：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式 预备知识：对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分；对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分

 

计算累次积分、二重积分、三重积分 预备知识：直角坐标系下的二重积分、极坐标系下的二重积分

 

求空间曲面的表面积(重积分的应用)

 

对微分方程求解、对积分方程求解 预备知识：不定积分

 

求平面曲线、空间曲线、空间曲面方程，平面方程、平面夹角、线线夹角、线面夹角

另附某人整理的微积分考试内容：

一、计算题(共4题)：

1.      定积分计算(换元法)

2.      多元函数微积分(偏导数、隐函数微分法与复合函数微分法)

3.      二重积分计算

4.      级数敛散性的判别

5.      求偏导

 

二、应用题(共2题)：

1.       求面积和旋转体体积

2.       多元函数的条件极值(拉格朗日)

 

三、填空(共5题)，选择(共10题)：

1.       求通解

2.       判别微积分方程的阶数，变上限定微积分的求导，定义域

3.       广义积分

4.       敛散性

5.       P191 例子5的应用

6.       交换二重积分次序

7.       简单函数的全微分

8.       直角坐标系下二重积分计算(极坐标下的不做要求)

四、证明题(共1题)：尚不清楚

在以往试卷总结的，大家看看参考下呗

 

第五章

1、5.1的定积分的概念

2、第217页的性质5

3、第222的变上限函数求导和第224页的牛顿-莱布尼茨公式

4、第231页的例5

5、第234页的习题第一大题的第九小题和第二大题的第一小题

6、第237页的例5

7、第238页的例8

8、第239页的习题第一大题的第一小题

9、第243页的例4

10、5.7的(一)由边际函数求原经济函数、(二)由边际函数求最优问题

11、第260页的第25、26题

 

第六章

12、6.3的第19页的习题第三题

13、第22页的例2

14、第24页的 习题第二大题

15、第27例3、4

16、第30页的例8第32页的习题第16题

17、第34页的解二阶偏导数的方法

18、第43页的第六题

19、第46页的性质3、4

20、第47页的习题第三题

21、第52页的例3

22、第56页的习题第二答题的第三小题

23、第59页的例1、2

24、第69页的例1、3

25、第72页的例6、7

26、第74页的习题第三大题的第二小题

27、第75页的例1

28、第84页的定理2、定义1、例3

29、第85页习题第一大题的第一小题

PS：大题方向：1、定积分(换元法和分部积分法)

               2、偏导数、二元函数的极值

               3、隐函数的极值

               4、判断条件收敛和绝对收敛

               5、解可分离变量的微分方程

               6、积分在经济分析中的应用