2.5 通信中的常见噪声

    本节知识要点：

    白噪声                 高斯噪声                 误差函数

    互补误差函数           高斯型白噪声              窄带高斯噪声

    窄带系统               正弦信号加窄带高斯噪声

    本节介绍几种噪声，它们在通信系统的理论分析中常常用到，实际统计与分析研究证明，这些噪声的特性是符合具体信道特性的。

    2.5.1 白噪声

    在通信系统中，经常碰到的噪声之一就是白噪声。所谓白噪声是指它的功率谱密度函数在整个频域http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/word2.5.1.gif内是常数，即服从均匀分布。之所以称它为“白”噪声，是因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。凡是不符合上述条件的噪声就称为有色噪声。
    白噪声的功率谱密度函数通常被定义为

式中，http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/word0-wuqiong.gif）的范围内，白噪声的功率谱密度函数又常写成

    2.5.2 高斯噪声

    在实际信道中，另一种常见噪声是高斯噪声。所谓高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。其一维概率密度函数可用数学表达式表示为

式中，http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordpf.gif为噪声的方差。
    通常，通信信道中噪声的均值http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/worda.gif=0。由此，我们可得到一个重要的结论：在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。证明如下：
    因为噪声的平均功率

    由公式（2-26）和图2-12容易看出高斯噪声的一维概率密度函数http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordpx.gif具有如下特性：
    （l）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordpx.gif对称于直线，即有

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-30.gif                      （2-30）

    （2）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordpx.gif在内单调上升，在内单调下降，且在点http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/worda.gif处达到极大值。当时

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-31up3.gif

    （3）                                    http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-31.gif                            （2-31） 

 http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-32.gif                （2-32）

且有
    （4）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/worda.gif表示分布中心，表示集中的程度。对不同的http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/worda.gif，表现为http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordpx.gif的图形左右平移；对不同的，http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordpx.gif的图形将随的减小而变高和变窄。
    （5）当http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/word-cgm=1.gif时，相应的正态分布称为标准化正态分布，这时有

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-33.gif                         (2-33）

    现在再来看正态概率分布函数http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordfx.gif。
    概率分布函数http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordfx.gif用来表示随机变量x的概率分布情况，按照定义，它是概率密度函数http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordfx.gif的积分，即

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-34.gif                          (2-34)

将式（2-26）正态概率密度函数代入，得正态概率分布函数http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordfx.gif为

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-35.1.gif

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-35.2.gif                  (2-35)

这个积分不易计算，常引入误差函数来表述。所谓误差函数，它的定义式为

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-36.gif                   （2-36）

并称http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-36down2.gif，即

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-37.gif           （2-37）

可以证明，利用误差函数的概念，正态分布函数可表示为

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-38.gif                （2-38）

用误差函数表示http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordfx.gif的好处是，借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方便查出不同x值时误差函数的近似值（参见附录B），避免了式（2-35）的复杂积分运算。此外，误差函数的简明特性特别有助于通信系统的抗噪性能分析，在后续的内容中将会看到，式（2-36）和式（2-37）在讨论通信系统抗噪声性能时，非常有用。
    为了方便以后分析，在此给出误差函数和互补误差函数的主要性质：
    （1）误差函数是递增函数，它具有如下性质
        1）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-38down1.gif；
        2）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-38down2.gif。
    （2）互补误差函数是递减函数，它具有如下性质
        1）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-38down3.gif；
        2）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-38down4.gif；
        3）http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-38down5.gif。

    2.5.3 高斯型白噪声

    我们已经知道，白噪声是根据噪声的功率谱密度是否均匀来定义的，而高斯噪声则是根据它的概率密度函数呈正态分布来定义的，那么什么是高斯型白噪声呢？
    高斯型白噪声也称高斯白噪声，是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。这里值得注意的是，高斯型白噪声同时涉及到噪声的两个不同方面，即概率密度函数的正态分布性和功率谱密度函数均匀性，二者缺一不可。
    在通信系统的理论分析中，特别是在分析、计算系统抗噪声性能时，经常假定系统中信道噪声（即前述的起伏噪声）为高斯型白噪声。其原因在于，一是高斯型白噪声可用具体的数学表达式表述（比如，只要知道了均值http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/worda.gif和方差，则高斯白噪声的一维概率密度函数便可由式（2-26）确定；只要知道了功率谱密度值/2，高斯白噪声的功率谱密度函数便可由式（2-22）决定），便于推导分析和运算；二是高斯型白噪声确实反映了实际信道中的加性噪声情况，比较真实地代表了信道噪声的特性。

    2.5.4 窄带高斯噪声

    通信的目的在于传递信息，通信系统的组成往往是为携带信息的信号提供一定带宽的通道，其作用在于一方面让信号畅通无阻，同时最大限度的抑制带外噪声。所以实际通信系统往往是一个带通系统。下面研究带通情况下的噪声情况。
    1. 窄带高斯噪声的定义与表达式
    当高斯噪声通过以http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation1.gif的系统。这是符合大多数信道的实际情况的。
    窄带高斯噪声的特点是频谱局限在http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/word-fc.gif，包络和相位随机变化的正弦波。
    因此，窄带高斯噪声http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/s76.gif可表示为

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-39.gif               （2-39）

式中，为噪声http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/s76.gif的随机包络；为噪声http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/s76.gif的随机相位。相对于载波的变化而言，它们的变化要缓慢的多。
    窄带高斯噪声的频谱和波形示意图如图2-13所示。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/picture2-13.gif

    将式（2-39）展开，可得窄带高斯噪声的另外一种表达形式，即

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-40.1.gif

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-40.2.gif                  （2-40）

其中

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-41.gif                    （2-41）

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-42.gif                     （2-42）

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-43.gif                      （2-43）

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-44.gif                       （2-44）

    式（2-44）常可表示为

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-45.gif                             （2-45）

这里，、、分别表示窄带高斯噪声http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/s76.gif、同相分量和正交分量的方差（亦即功率）。
    （2）一个均值为零，方差为的窄带高斯噪声http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/s76.gif，假定它是平稳随机过程，则其随机包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。即

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-46.gif                   （2-46）

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/equation2-47.gif                    （2-47）

    http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordp(fi).gif的波形如图2-14所示。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/picture2-14.gif

    2.5.5 正弦信号加窄带高斯噪声

   信道中加性噪声无时不在，信号经过信道传输总会受到它的影响。因此，接收端收到的信号实际上是信号与噪声的合成波。通信系统中，常常碰到的合成信号具有正弦信号加窄带高斯噪声的形式，如在分析2ASK、2FSK、2PSK等信号抗噪声性能时，其信号均为http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordxhao.gif形式。下面研究该合成信号的包络及其相位的统计特性。
    正弦信号加上信道噪声后的合成信号http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordrt1.gif可以表示为

分别为合成信号的随机包络和随机相位。
    可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：
    （1）正弦信号加窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布），即其包络的概率密度函数为

式中，http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/xiandaitongxin/jc/picture/1-3/wordAq0.gif时，其随机包络将服从瑞利分布。
    （2）正弦信号加窄带高斯噪声的随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布
    正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布如图2-15所示。