译注：这是蒯因(Quine)给美国哲学会1978年的《年鉴》写的纪念哥德尔的文章。哥德尔死于1978年，也是美国哲学会的会员。此文再发表于蒯因1981年的文集《Theories and Things》。我上篇《哥德尔轶事》在微博和博客上发表时，有网友评论要求聊聊哥德尔的思想。蒯因在这里罗列了哥德尔在逻辑和数学上的主要贡献。此文发表时，大家对哥德尔的哲学还不是特别了解。王浩的《哥德尔》(Reflections on Kurt  Gödel )对他的哲学有更多详尽的讨论。

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库尔特·哥德尔

哥德尔生于1906年4月28日，出生地是摩拉维亚（原属奥匈帝国，现属捷克）的布尔诺（Brunn或Brno）。他父亲是鲁道夫-哥德尔，母亲是玛丽安妮·汉兹舒。哥德尔于1924年入维也纳大学。1930年2月6日，获得数学博士学位。

他的博士论文证明了一阶谓词演算的完全性。一阶谓词演算是现代形式逻辑的基础，狭义上讲，有人甚至将它等同于逻辑，这也不无道理。一阶逻辑的公式表示句子的形式，用变量代替谓词。一阶逻辑的有效公式就是无论变量取值什么谓词，句子都为真的公式。哥德尔证明的是对每一个有效公式都有一个证明过程，这个证明过程给出公式的形式证明。

这个完全性是预料之中的。在一片对完全性的期望声中，即使是一个预料相反结果的逻辑学家也不会煞费苦心去强化已知的证明过程。但是一个完全性的实际证明却并非在预料之中，它确是一个值得关注的结果。它被看作是一个使人放心的确认。奥斯陆的斯克伦（Skolem）早在1929年就发表了几个结果，现在回顾起来，那些结果实际上已经预示了完全性定理。只不过那几篇文章在观点上比较模糊，而哥德尔的工作是独立于它们的。

哥德尔在1930年初就完成了完全性定理的工作。而在这年还没结束时，他的下一个定理及其证明发表了；这个定理奠定了他的不朽地位。与完全性定理相反，这是一个不完全性的定理：初等数论的不完全性。谓词演算的完全性是预料之中的，人们只是要个证明而已。与此相反，初等数论的不完全性却是对坚定的先入之见的一个颠覆，是数学哲学的一次危机。

初等数论是数学的一小块，它关心整数的加法和乘法。无论人们怎样设计有效的有用的证明规则，初等数论的某些真理将不可证明；这就是哥德尔定理的要点。给定任意一个证明过程，哥德尔告诉我们如何用初等数论的简单概念来构造一个句子使得这个句子是可被证明的当且仅当它是假的。且住：一个句子不能同时即被证明又是假的啊，如果证明规则是有效的话。所以这句子是真的，但不可证明。

我们曾经认为数学真理的实质就在于可证明性。现在看来这种观点，不仅对整个数学而言是不靠谱的，即使只是对数学的一部分而言也不靠谱；初等数论是数学相当小的一部分，它已经超越了任何可接受的证明过程。

专家们可能注意到，我在这篇简述中不得不点到为止，还得回避某些技术细节。

在同一篇划时代的文章中，哥德尔还推导出另一条定理，作为对主定理的推论。这个推论的要点是：一个数学理论不能被证明不存在内部矛盾，除非求助于另一个有更强假设的理论，这个更强的理论相比其一致性有待证明的原来的理论要更不可靠。像不完全性定理一样，这个推论也同样令人悲观。这个推论也被发现有些正面的用途，那就是当我们想证明一个理论要比另一个理论更强时：我们只需要证明在这个理论中可以证明另一个理论是一致的。

哥德尔不完全性定理的证明中用到的技术在其它地方也有用处。这些技术在一个充满活力而又快速发展的数学分支中是不可或缺的工具，这个新数学分支就是层次理论，也叫递归数论，或递归论。后者在计算机理论中扮演主要作用。

在1932-1935年间，哥德尔通过10篇连续的短文公布了关于可证明性的更进一步的技术成果。他在1938年前一直在维也纳大学担任私人讲师职位，中间在1934年访问美国并在普林斯顿高等研究院讲学。1938年他同阿黛尔结婚，一起搬家到普林斯顿，担任高等研究院的终身职位。他们没有孩子。哥德尔于1948年成为美国公民，1953年他被提升为高等研究院的教授，他一直待在普林斯顿直到1978年1月14日逝世。

哥德尔的第三个伟大发现在1938年以摘要的方式公布，1940年全文发表，这就是连续统假设和选择公理的一致性。

选择公理是这样说的：假设有很多集合，这些集合互相没有交集，又都非空；那么一定存在一个集合，以上集合每一个都贡献一个元素给这个新集合。这个公理听起来是真的，当一开始的集合数目是有限的，这个公理实际上是可被证明的。但在集合数是无限时，无法从更明显的起始证明。但是很多关于无限集合和无限数的有意思的定理都依赖于选择公理。因而，哥德尔的新定理是受欢迎的；因为他证明了选择公理可以被加到集合论的公理中去，不会引起矛盾。

连续统假设是说：任何无限多的客体，他们或者可通过给每一个客体分配一个不同的整数而得以穷尽，或者给每一个客体分配一个不同的实数而得以穷尽。这个假设，同选择公理不同，很难说直觉上是真的；人们对此认识模糊。还有一个广义版本的连续统假设，这里就不说了。简而言之，这些假设既不法证明，也无法反证。这在关于无限数的理论中无处不在。哥德尔的新定理证明了：连续统假设，无论是简单版，还是广义版，都可以被加入到集合论公理中，不会引起矛盾。

关于选择公理和连续统假设，他的证明方法的价值一点也不少于他证明的结果的价值。他的证明揭示了一个经济的架构，它满足常用集合论的所有需求。这个架构及其充足性的保证，在后来的研究中，成果丰富，这些研究与选择公理和连续统假设的一致性无关。

哥德尔证明了选择公理和连续统假设可以被加入到常用的集合论公理中，不会引起矛盾。保罗·科恩后来进一步证明它们的否定也不会引起矛盾。这样它们就悬在半空中，任何公认的数学原理都认为它们是不确定的。对哥德尔原来已经毁灭性的不完全性定理，我们现在有了一个著名的后记。哥德尔不完全性定理告诉我们任何给定的证明过程，如果是有效的，将会有某些数学问题（实际上有无穷多）不可判定。现在，我们有两个戏剧性的例子：两个被长期研究的数学问题，在通常接受的数学原理的基础上，原则上是不可判定的。

这些结果对数学真理的客观性提出质疑了吗？它们揭示了理智的未知限度吗？哥德尔对这两点都不接受。他后来所写的几篇简洁的文章反映了他对这个问题的专注思考。他相信数学中抽象客体的实在性，他也相信人的理智能够直觉上把握这些抽象客体。他认为人的理智可以超越形式化证明过程。因而不受他的不完全性定理的限制。他认为关于集合会有更精细的直觉，这些直觉仍然可以解决选择公理和连续统假设的问题。他自己没有提出过系统的哲学，但我们觉得他比较倾向于唯心主义，甚至老派的理性主义。他特别欣赏理性主义者莱布尼兹（莱已经预示了数理逻辑的原型）。他为希尔普的《在世哲学家文库-爱因斯坦卷》写了篇短文，从此文看，哥德尔认为广义相对论对某种唯心主义立场提供了支持。

哥德尔纤弱体虚，他一直都有慢性胃病，受不了寒冷的天气。即使在温暖的日子，也会看到他穿着外套在普林斯顿的大街上步履蹒跚。他说过他和他太太一度想去新泽西的夏日海滩度个假，但觉得那太冷了。

他的责任感很强，对高等研究院的候选人的文章，他都是仔细阅读，尽管这些只是高等研究院的一年期研究员候选人，而且文章都不是他自己熟悉的领域。他很和气，但却不外露，他的对话者必须先发话。但是他的成就如此之大，不得不先发话的人恐怕也不愿轻易造次。

1951年，哥德尔和冯·诺依曼分享了爱因斯坦奖，哥德尔还得了耶鲁的荣誉学位。哈佛第二年也给了他荣誉学位，阿默斯特、洛克菲勒后来也授予他荣誉学位。哥德尔1961年加入美国哲学会。他是美国科学院院士，美国艺术和科学院院士，皇家学会外籍会员，英国科学院院士，法兰西学院院士。