追寻充盈“数学味”的课堂
——《钉子板上的多边形》的教学与思考

盐城市新河实验小学  余荣军 

教学内容：苏教版小学数学五年级上册108-109页。

教学目标：

1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现钉子板围出的多边形与它的边所经历的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律，并应用规律解决实际问题。

2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。

3.让学生学会在观察中思考，在思考中归纳，充分感受浓浓的数学味。

教学准备：多媒体课件一套、学习研究单4张。

教学过程：

预热：猜谜。

孩子们，近期学校举行数学文化艺术节，开展了丰富多彩的活动，说说看，你都参加了哪些活动？

今天余老师还为大家带来了一个猜谜游戏，想不想参与？好！一起看，猜成语。（抢答）

看得出来，我们五（3）班的孩子反应尤其快，脑子特别灵，相信这节课大家也一定会有出色的表现。

一、激趣生疑  引发猜想

师：孩子们,今天我们将一起学习什么内容？

生：钉子板上的多边形

师：你能在钉子板上围一围多边形吗？

    要求：每人围3个不同的多边形。

    学生动手操作。

师：说说看你围了哪些图形？

生：长方形、正方形、梯形、五边形、不规则图形......

师：请你用数学的眼光仔细观察自己围的三个多边形，你有什么想说或想问的吗？

生₁：形状不同；生₂：大小不同。

师：大小不同，其实就是什么不相同？

生：大小不同，就是面积不相同。

师：今天这节课我们就重点研究钉子板上多边形的面积问题。（板书：面积）

师：这是围在钉子板上的多边形，你觉得它们的面积大小可能会与什么有关系呢？猜猜看。

生₁：跟钉子有关。  

生₂：可能与边上的钉子数有关，因为我发现多边形边上的钉子越多，面积就越大。

生₃：也可能跟里面的钉子数有关。

随机板书：边上的钉子数  里面的钉子数

师：其他同学呢？有什么想法？

（大多数学生有这两种猜想）

师：大家的猜想似乎有点道理，那究竟是不是有关系呢？有着怎样的关系呢？今天这节课我们就一起来研究它。

【评析：开门见山，直接聊关于钉子板上多边形的情况，显得干净利落，通过观察引导学生进行合理猜想，引出学习内容，为新知的探究奠定了基础。】

  二、引导探究  探寻规律

1.研究里面有一个钉子的多边形面积

介绍：为了研究的方便，我们用点子图来代替钉子板，这里的点子就相当于钉子板上的钉子。（隐去钉子板，显示点子图）

说明：这里的每一行，每一列两个钉子之间的距离都是一个单位长度，在这里就是1厘米，那么这个小正方形的面积是多少呢？（1平方厘米）

出示多边形。

师：今天的研究活动，我们从简单的图形入手，找找看这三个图形在围法上有什么相同的地方？

生：里面都是一个钉子。（板书：1）

师：那么边上的钉子数一样吗？

生：不一样。

师：数数看，这个三角形的边上有几个钉子？

师：为了便于分析，我们把这些数据以表格的形式呈现出来，三角形的边上有4个钉子。

师：梯形呢？第三个多边形呢？

师：它们的面积你能求吗？三角形的面积是多少？你是怎么想的？

生：用面积公式算出来的。

师：这个梯形的面积又是多少呢？说说你的想法。

生：用面积公式算出来的。

师：五边形呢？你会怎么想？

生₁：用割补法算出来的。  生₂：数出来的。

    师：刚刚我们通过对图形的观察与思考得到了这三组数据，现在请大家仔细观察、比较表里的数据，你能有什么新的发现？（板书：观察）

众生：它们的面积都是边上钉子数的2倍。

师：如果用S表示这些多边形的面积，n表示它们边上的钉子数，你能用一个简单的式子把它们的关系表示出来吗？（板书：S=n÷2）

提出质疑：是不是所有里面有一个钉子的多边形都会有这样的发现呢？

（有的学生认为是的，有的认为不一定。）

师：不能确定，是吧？那对我们来说这样的发现就只是一种猜想，现在你认为应该怎么办？（板书：猜想、验证）

生：验证。

师：好主意，那你们打算怎样验证？（板书：验证）

生：画一个中间只有一个钉子的多边形，先数出边上的钉子数，求出它的面积，再看看边上的钉子数是不是面积数的两倍。

师：大家听明白了吗？你是不是也这样想的？

师：下面请大家拿出学习研究单（一）开始验证。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    师生交流，请两个学生结合研究单说一说验证的方法。

师追问：有没有跟我们的发现不符合的?

2.小结。

师：孩子们，刚刚我们研究了什么问题？

生：里面有一个钉子的多边形面积。

师：发现这样的多边形面积等于什么呢？

生：S=n÷2

师：接下来，你打算研究什么问题呢？

生：里面有两个钉子的多边形面积。

师：回顾我们刚刚的研究过程，我们是怎样进行研究的？小组内先说一说。

师生交流，形成共识：首先通过对图形、数据的观察比较以及分析，然后提出猜想，进行验证，最后得出结论。（板书：结论）

师：是啊，这是一种科学的学习方法，下面你能不能试着用这样的方法，在小组内合作研究里面有两个钉子的多边形面积呢？

【评析：多边形里面有一个钉子的面积规律学生很容易“发现”，因此这个环节的着力点，教者放在让学生领悟“观察-猜想-验证-结论”这样的规律探究的科学方法上，让课堂溢满了“数学味”。】

3.研究里面有两个钉子的多边形面积

出示合作研究要求：

1.在学习研究单（二）上画一个里面有2个钉子的多边形，并完成表格；

2.将所得数据填在小组研究单上；

3.组内观察、比较每组数据，发现规律。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 小组合作研究。

    小组汇报。（选择第三小组和第五小组的研究单，组长进行汇报）

第三小组的结论：S=n÷2+1。

第五小组的结论：n=2S-2

师：有不同的发现吗？（没有）

师引导分析，发现这两种结论只是表达方式上有区别，说明的道理其实是一样的。

提出验证：刚刚没有发现这样的结论的小组，请你们用表里的数据验证一下，看看是不是也有这样的规律？

得出规律，板书：S=n÷2+1

【评析：里面有两个钉子的多边形面积规律是本课的教学难点，教者让学生运用前面得出的研究方法尝试着探寻规律，采用独立思考与小组合作相结合的方式，探究既有挑战性，又具激励性，充分激活了学生的潜能。】

4.引导类推，发现规律

师：现在让我们一起观察黑板上的两个发现，请你先读一读，上下联系起来比一比，再静静的想一想：如果想接着写下去，当里面有3个钉子、4个钉子时，S又会等于什么呢？有什么新的想法吗？

（学生举手的很多）

师：大家都有想法是吗？咱先不说出来，请同桌两人一人验证里面有3个钉子的猜想，另外一人验证里面有4个钉子的猜想，验证好后再互相交流一下自己的想法，看看是不是跟你的猜想是一致的，好吗？快速分工一下，开始吧！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

师生交流。

师：都跟你的猜想一致吗？谁愿意交流一下的？

发现：里面有3个钉子时，S=n÷2+2；里面有4个钉子时，S=n÷2+3。

（板书：S=n÷2+2  S=n÷2+3）

师：再次观察这些发现，现在你还能接着写下去吗？

师：这样写下去写得完吗？有什么新的想法？

生：用一个式子表示。

师：说出你的想法。

生：用字母表示里面的钉子数，面积数等于边上的钉子数除以2加上里面的钉子数减1。

师：如果用字母b表示里面的钉子数，面积S等于什么呢？

得出：S=n÷2+b-1（板书）

师：这里的b可以为哪些数呢？

生：所有的数。

众生：小数不可以。

生：自然数。

生：0不可以。

有不同的意见，研讨：0究竟可不可以？

师：用什么办法解决？

生：画图验证。

课件出示里面没有钉子的长方形全班一起验证，发现同样适用。

【评析：对于里面是三、四个钉子的多边形面积，教者引导学生用类比推理的方法初步得出，再进行验证，发现规律。并再次让学生通过观察、讨论、验证得出钉子板上多边形面积的“秘密”，并逐步抽象得出“皮克定理”，层次分明，充盈着浓浓的数学味。】

三、学以致用  反馈提升

提问：大家认为这些简单图形的面积需要用发现的规律去解决吗？为什么？

生：不需要，因为太简单了。

师：是啊，我们从简单的图形入手，是为了便于发现了钉子板上多边形面积的规律，当然，这些规律在以后的学习中将要进一步去证明，规律是用于解决一些较为复杂的问题的，是吧？

出示练习，解决问题。

师：这是一个不规则的四边形，通过今天的学习，你觉得要解决这样的问题，只要知道什么条件就可以解决了？

出示条件，学生口答。

    四、文化渗透  总结评价

1. 回顾：今天学习了什么内容?

2. 整理：通过什么方法进行研究的？

3.文化渗透：介绍奥地利数学家乔治.皮克与“皮克定理”；介绍我国著名数学家闵嗣鹤所著的《格点和面积》，了解正方形格点多边形，拓展三角形格点多边形。

 

 

总评：

有人说：舞蹈讲究的是“韵味”，语文注重的是“品味”。我这节数学课关注的是营造浓浓的“数学味”。主要体现在教者能以数学内容为源泉，以数学问题为纽带，以数学思考为灵魂，以数学思想为核心，以数学文化为背景构建有“数学味”的课堂。

    一、创设情境，生成问题驱动学习

爱因斯坦指出：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。我的理解是：解决一个问题也许只是一项技能的形成，而提出新的问题，却需要有创造性的想象力，是培养学生创新能力的有效路径。怎样让孩子们提出有价值的数学问题呢？以本课的“激趣生疑，引发猜想”这一环节为例，我创设了让学生围多边形的活动情境，一方面旨在激发孩子们的学习兴趣，另一方面使孩子们在“动手做”的过程中初步感受到围的图形不同，边上的钉子数就不同，里面的钉子数也不同，能主动提出有价值的数学问题，增强提出问题的意识。但这样的情境创设若教师不加以引导，孩子们会提出许多非数学本质性的问题，因此课堂上我特别指出：请你用数学的眼光去观察所围的图形，你有什么想说或想问的？这样淡化了情境的“生活味”,放大了情境的“数学味”,课堂上生成的问题更具指向性，激发了后续学习探究的内驱力。

    二、方法引领，激活潜能探究规律

苏霍姆林斯基说：只有能够激发学生去进行自我教育的教育，才是真正的教育。本课在“引导探究，探寻规律”的环节，我主要采取由扶到放的节奏，让学生学会自主学习，进行自我教育。这一环节共分为四个层次，其中第一个层次是师生共研多边形里面有1个钉子的多边形面积规律，规律的发现并不难，所以我的教学重点定位在“你是怎样发现这样的规律”的话题研讨上，课堂上充分给予学生回顾反思的时间，让学生形成探寻规律的方法，即：观察→猜想→验证→结论。在学生初步领悟探寻规律的方法后，放手让学生自主探究多边形里面有2个钉子的面积规律，进入第二层次的学习，这是本节课的学习难点，学习具有挑战性，但有了前面方法的引领以及小组之间的同伴互助，课堂上孩子们研究的热情很高，大多数孩子已俨然像个小小数学家，学会了在观察中思考，在思考中提出猜想，进行验证。探究的过程中孩子们经历着困惑与顿悟，享受着成功的愉悦,“数学味”充满了探究活动的整个过程,充分激活了孩子们的学习潜能。

    三、史料呈现，彰显文化延展课堂

《数学课程标准》指出：“数学是人类文化的重要组成部分”。应该说课堂上一切有效的活动都是数学文化的融入。数学文化，可凭生活体现它的价值；可借活动诠释它的本质；可用美学展示它的魅力，而本节课，我除了以上述为媒介渗透数学文化，还充分推介数学史料，以彰显它的内涵。教学中，通过对奥地利数学家乔治.皮克提出的“皮克定理”及我国数学家闵嗣鹤的《格点和面积》的介绍，让学生知道今天学习的规律早在一百多年前就被乔治.皮克提出了，它在闵嗣鹤的书里被称为正方形格点问题，除此之外还有三角形格点问题，他们之间既有联系又有区别，等等的史料呈现与问题提及，使学生在受到文化熏陶的过程中感受到了规律的有趣与实用，同时许多新的问题也在孩子们的脑中膨胀，尽管本节课结束了，但孩子们的神情告诉大家他们探究的热情不减，行动不止，“数学味”在“文化味”的烘托下继续延展。

当然，本节课也存在着一些不尽人意的地方，比如探寻规律的过程受课堂时间的限制，少部分学生因学习能力的制约，规律的发现有一定的困难，再如，对于教材的整合还可以有更好的选择空间等等。我想，也正因为课堂教学没有最好，只有更好，才更加坚定了我们的脚步，让我们循着有“数学味”的课堂一路前行，为学生的终身发展奠基。

                                                               此文发表于《小学数学教育》